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on aura

${\frac {\mathrm {P} ^{2}q^{3}\left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {P} q^{3}\left({\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p\right),$

ou bien, en divisant par $\mathrm {P} q^{3},$

${\frac {\mathrm {P} d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.$

Cette équation étant multipliée par $2dp$ devient intégrable, et l’intégrale sera

${\frac {\mathrm {P} ^{2}dp^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2},$

$\mathrm {G}$ étant la constante arbitraire ; de sorte qu’on aura, en tirant la racine quarrée,

${\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}\,;$

mais

${\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}$

$={\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}{\mathrm {T} }}\,;$

donc, substituant cette valeur et mettant à la place de $p,$ $x+y,$ et à la place de $\mathrm {T} ,$ $\mathrm {P} q,$ ou bien $\mathrm {P} (x-y),$ on aura, après avoir multiplié par $x-y,$

(D)

$\left\{{\begin{aligned}&{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}\\&\qquad =(x-y){\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta (x+y)+\varepsilon (x+y)^{2}}}\end{aligned}}\right.$

pour l’intégrale cherchée de l’équation

(E)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

13. Si l’équation à intégrer était

(F)

${\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}}+{\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}}=0,$

il n’y aurait qu’à changer le signe du second radical de l’équation (D),