on aura
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} ^{2}q^{3}\left(d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=\mathrm {P} q^{3}\left({\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c033f04e34983a50659bed0f435cae7644996ab)
ou bien, en divisant par ![{\displaystyle \mathrm {P} q^{3},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15d2c1e805d83bb2b4671fd08399b018a794accd)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}={\frac {\delta }{2}}+\varepsilon p.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/613c5cfd1477a1450e005e80a9c70da74b3a661d)
Cette équation étant multipliée par
devient intégrable, et l’intégrale sera
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} ^{2}dp^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fd865faebb5cbdafd3fd28f1e7bc2250fbe04a6)
étant la constante arbitraire ; de sorte qu’on aura, en tirant la racine quarrée,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}={\sqrt {\mathrm {G} ^{2}+\delta p+\varepsilon p^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50df38014bad67fa028c1e32e87d61d713a8a819)
mais
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92af31a4bacf4c6a02bac652a9e21260c3fbc6a1)
![{\displaystyle ={\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}{\mathrm {T} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8303aca1df6a54c1ddffd8e3fe371bb99a50ee1)
donc, substituant cette valeur et mettant à la place de
et à la place de
ou bien
on aura, après avoir multiplié par ![{\displaystyle x-y,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fb3fb9480a7a2ada0208c61b39cde62d9432ebb)
(D)
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pour l’intégrale cherchée de l’équation
(E)
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13. Si l’équation à intégrer était
(F)
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il n’y aurait qu’à changer le signe du second radical de l’équation (D),