Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/179

pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $n$ observations.

Donc, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura les résultats suivants

${\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{2}},&{\cfrac {3}{8}},&{\cfrac {5}{16}},&{\cfrac {35}{128}},\ldots .\end{array}}$

où l’on voit que la probabilité diminue à mesure que $n$ augmente, comme dans le cas du Corollaire précédent.

4. Corollaire III. — Soit $b=2a,$ de manière que le nombre des cas qui peuvent donner une erreur d’une unité tant en plus qu’en moins soit double de celui où l’on aurait un résultat exact, on aura ici, pour la probabilité que l’erreur soit nulle en prenant le milieu entre $n$ observations,

${\frac {1+4n(n-1)+{\cfrac {16n(n-1)(n-2)(n-3)}{2.2}}+{\cfrac {26n(n-1)\ldots (n-5)}{2.3.2.3}}+\ldots }{5^{n}}}.$

Donc, faisant successivement $n$ égal à $1,2,3,\ldots ,$ on aura

${\begin{array}{lcccc}n\ldots \ldots \ldots \ldots &1,&2,&3,&4,\ldots ,\\\mathrm {Probabilit{\acute {e}}} \ldots &{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {9}{25}},&{\cfrac {1}{5}},&{\cfrac {29}{125}},\ldots .\end{array}}$

Ainsi, pour deux observations, l’avantage sera de ${\frac {9}{25}}-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{25}},$ pour trois il sera de ${\frac {1}{5}}-{\frac {1}{5}}=0,$ pour quatre égal à ${\frac {29}{125}}-{\frac {1}{5}}={\frac {4}{125}},$ etc. ; d’où il paraît que le plus grand avantage a lieu en prenant le milieu entre deux observations seulement.

5. Remarque I. — Pour faciliter davantage la solution du Problème précédent, il est bon de chercher la loi que suivent les termes de la série qui représentent les probabilités qui répondent à $1,2,3,\ldots ,$ observations ; or, si l’on prend la fraction ${\frac {1}{1-z\left[a+b\left(x+x^{-1}\right)\right]}},$ et qu’on la dé-