exprimée par
voyons donc quelle sera ∣a probabilité que l’erreur soit aussi nulle en prenant le milieu entre
observations. Il est facile de, voir que cette question se réduit à celle-ci :
Ayant
dés dont chacun, ait
faces marquées d’un zéro,
faces marquées d’une unité positive, et
faces marquées d’une unité négative, en sorte que le nombre total des faces soit
trouver la probabilité qu’il y a d’amener zéro en jetant tous ces dés au hasard.
Or on sait, par la théorie des combinaisons, que si on élève le trinôme
à la puissance
le coefficient du terme absolu, c’est-à-dire de celui où la puissance de
sera zéro, dénotera le nombre des cas ou des hasards où la somme des points marqués par tous les dés sera égale à zéro : donc, nommant ce coefficient
on aura, à cause que le nombre de toutes les combinaisons possibles est
on aura, dis-je
pour la probabilité cherchée.
Tout se réduit donc à trouver le coefficient de
or, c’est à quoi l’on peut parvenir de plusieurs manières différentes.
1o Si on développe la puissance
suivant le théorème de Newton, on aura, comme on sait,
![{\displaystyle a^{n}+na^{n-1}b\left(x+x^{-1}\right)+{\frac {n(n-1)}{2}}a^{n-2}b^{2}\left(x+x^{-1}\right)^{2}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b83732bb3dbc187b06c517899d9c77997f7a651)
or, il est facile de voir que les puissances impaires de
ne renferment aucun terme sans
et que, dans les puissances paires, il y a toujours un terme sans
qui est celui du milieu, dans lequel les exposants de
et
sont les mêmes. Ainsi, le terme sans
de sera
celui de
sera
celui de
sera
et ainsi des autres ; donc on aura en général
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} =&a^{n}+{\frac {2}{1}}{\frac {n(n-1)}{1.2}}a^{n-2}b^{2}+{\frac {4.3}{1.2}}{\frac {n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4}}a^{n-4}b^{4}\\&+{\frac {6.5.4}{1.2.3}}{\frac {n(n-1)(n-2)\ldots (n-5)}{1.2.3.4.5.6}}a^{n-6}b^{6}+\ldots ,\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba21a48a969ec3f76680a26265390b450b1576db)