Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/17

en sorte que l’on ait aussi

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}}},$

et ces deux équations, étant traitées comme celles du n^o 10, deviendront d’abord

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x+3\delta x^{2}+4\varepsilon x^{3},\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y+3\delta y^{2}+4\varepsilon y^{3}.\end{aligned}}$

J’ajoute ensemble ces deux dernières équations, et je fais comme ci-dessus

$x+y=p,\quad x-y=q,\quad d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

j’aurai, en divisant par $2,$

${\frac {\mathrm {TM} dp^{2}+\mathrm {TN} dpdq+\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\beta +\gamma p+{\frac {3\delta }{4}}\left(p^{2}+q^{2}\right)+{\frac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}+3pq^{2}\right),$

et mettant au lieu de ${\frac {dpdq}{dt^{2}}}$ sa valeur

${\begin{aligned}{\frac {dx^{2}-dy^{2}}{dt^{2}}}=&{\frac {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}+\delta y^{3}+\varepsilon y^{4}}{\mathrm {T} ^{2}}}\\=&{\frac {\beta q+\gamma pq+{\cfrac {\delta }{4}}\left(3p^{2}q+q^{3}\right)+{\cfrac {\varepsilon }{2}}\left(p^{3}q+pq^{3}\right)}{\mathrm {T} ^{2}}},\end{aligned}}$

on aura, après avoir multiplié par $\mathrm {T}$ et ordonné les termes

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=&(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q)+{\frac {\delta }{4}}\left[3\mathrm {T} \left(p^{2}+q^{2}\right)-\mathrm {N} \left(3p^{2}q+q^{2}\right)\right]\\&+{\frac {\varepsilon }{4}}\left[\mathrm {T} \left(p^{3}+3pq^{2}\right)-\mathrm {N} \left(p^{3}q+pq^{3}\right)\right].\end{aligned}}$

Soit fait, comme dans le n^o 10,

$\mathrm {T-N} q=0,$

et par conséquent

$\mathrm {T=P} q,\quad \mathrm {N=P} ,\quad \mathrm {M} ={\frac {qd\mathrm {P} }{dp}},$