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sa valeur

${\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}{\mathrm {T} }},$

et faisant attention que $\mathrm {T} =\mathrm {P} q=\mathrm {P} (x-y),$ on aura l’équation finale

${\frac {{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}{x-y}}=\mathrm {G} .$

C’est là, ce me semble, la forme la plus simple à laquelle on puisse réduire l’intégrale de l’équation proposée (C).

11. Puisque la différence des deux quantités qui sont sous le signe est $\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right),$ il est clair qu’on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)}{{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}}.$

Donc, mettant au lieu du dénominateur du second membre sa valeur $\mathrm {G} (x-y),$ et divisant ensuite le haut et le bas de la fraction par $x-y,$ on aura

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta +\gamma (x+y)}{\mathrm {G} }},$

équation qui, étant combinée avec la précédente, donnera celle-ci :

${\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}={\frac {\beta +\left(\gamma +\mathrm {G} ^{2}\right)x+\left(\gamma -\mathrm {G} ^{2}\right)y}{2\mathrm {G} }},$

laquelle étant multipliée par $2\mathrm {G} ,$ et ensuite quarrée, deviendra

$\beta ^{2}-4\alpha \mathrm {G} ^{2}+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})(x+y)+2(\gamma ^{2}-\mathrm {G} ^{4})xy+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})=0.$

12. La méthode que nous venons d’employer dans le n^o 10 peut s’appliquer avec le même succès à intégrer l’équation dont nous avons parlé plus haut (n^o 6).

Soit donc

${\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}},$