sa valeur
![{\displaystyle {\frac {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}{\mathrm {T} }}+{\frac {\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}{\mathrm {T} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aa9a5c51847191530c57a3f3e053a064b99a20f)
et faisant attention que
on aura l’équation finale
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}{x-y}}=\mathrm {G} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13e8d48913431cc8a78c51260e5bfa9ea7942eb2)
C’est là, ce me semble, la forme la plus simple à laquelle on puisse réduire l’intégrale de l’équation proposée (C).
11. Puisque la différence des deux quantités qui sont sous le signe est
il est clair qu’on aura
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta (x-y)+\gamma \left(x^{2}-y^{2}\right)}{{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}+{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f842cb37c4ad3f987c0bd2c86db2479b0edaf1)
Donc, mettant au lieu du dénominateur du second membre sa valeur
et divisant ensuite le haut et le bas de la fraction par
on aura
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}-{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}={\frac {\beta +\gamma (x+y)}{\mathrm {G} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58f8fa1b3b90aeee456b399d0a6bdc2f762c621c)
équation qui, étant combinée avec la précédente, donnera celle-ci :
![{\displaystyle {\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}={\frac {\beta +\left(\gamma +\mathrm {G} ^{2}\right)x+\left(\gamma -\mathrm {G} ^{2}\right)y}{2\mathrm {G} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b2c304fade23180a07383fb6ed36bb31b78479f)
laquelle étant multipliée par
et ensuite quarrée, deviendra
![{\displaystyle \beta ^{2}-4\alpha \mathrm {G} ^{2}+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})(x+y)+2(\gamma ^{2}-\mathrm {G} ^{4})xy+(\gamma -\mathrm {G} ^{2})^{2}(x^{2}+y^{2})=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6e6cdb6de5592bea4bce0ffa28ee47f593f3d15)
12. La méthode que nous venons d’employer dans le no 10 peut s’appliquer avec le même succès à intégrer l’équation dont nous avons parlé plus haut (no 6).
Soit donc
![{\displaystyle {\frac {dt}{\mathrm {T} }}={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}+\delta x^{3}+\varepsilon x^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4727f264872a029842ffd0410efde9498c9f9e7)