donc, substituant ces valeurs dans l’équation ci-dessus, elle deviendra, après l’avoir multipliée par
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {M} dp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=(\beta +\gamma p)(\mathrm {T-N} q).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e9416d6601fcbc4ab65d4f1ea1af70c5aee3d91)
Or, puisque la valeur de
est indéterminée, on peut la supposer telle que
![{\displaystyle \mathrm {T-N} q=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e871b4a8eba49a469c86e46b36e810c11023d96e)
c’est-à-dire, à cause que ![{\displaystyle \mathrm {N} ={\frac {d\mathrm {T} }{dq}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79ccf662a376bd4f4c125e0adc53e8c37afdd4e5)
![{\displaystyle {\frac {1}{\mathrm {T} }}{\frac {d\mathrm {T} }{dq}}={\frac {1}{q}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ea5d3981d91997218cf6e6d0542a90d51754bf)
ce qui donne, en multipliant par
et intégrant,
![{\displaystyle \mathrm {T=P} q,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8e5ac7c87138deccc3b5fd44821d24ff54506e2)
étant une fonction quelconque de
sans
Ainsi on aura, en supposant ![{\displaystyle d\mathrm {P} =\mathrm {P} 'dp,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65356315ee91184252425f0ef480ef367084e7f8)
![{\displaystyle \mathrm {M=P'} q,\qquad \mathrm {N=P} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158f6244c02b7eea86f58f929756c36add4584b4)
et l’équation différentielle deviendra
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {T} ^{2}\left(\mathrm {P} 'qdp^{2}+\mathrm {T} d^{2}p\right)}{dt^{2}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4728469c31462ad31974713c34bc75fa9dfb555)
c’est-à-dire, en mettant
au lieu de
au lieu de
et divisant ensuite par ![{\displaystyle q\mathrm {T} ^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc367f61e9acf04e21615d89d075a5bceb556c47)
![{\displaystyle {\frac {d\mathrm {P} dp+\mathrm {P} d^{2}p}{dt^{2}}}=0,\quad {\text{ou bien}}\quad {\frac {d(\mathrm {P} dp)}{dt^{2}}}=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c78b29966806db3dea40282437f0e9ffe8c8a7cb)
de sorte qu’on aura, en prenant une constante arbitraire quelconque ![{\displaystyle \mathrm {G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5eea482c6c7b1b9fb69415def04ecc0271d00a)
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {P} dp}{dt}}=\mathrm {G} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/454905aaed887bbe87b463778db7817ff15eb722)
d’où, en mettant au lieu de
![{\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {dx+dy}{dt}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92af31a4bacf4c6a02bac652a9e21260c3fbc6a1)