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$\mathrm {T}$ étant une fonction quelconque de $x$ et $y,$ on aura ces deux équations-ci :

${\begin{aligned}{\frac {dt}{\mathrm {T} }}&={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\{\frac {dt}{\mathrm {T} }}&={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}\,;\end{aligned}}$

d’où l’on tire, en multipliant en croix et quarrant,

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {T} ^{2}dx^{2}}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2},\\{\frac {\mathrm {T} ^{2}dy^{2}}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta y+\gamma y^{2},\end{aligned}}$

de sorte qu’en différentiant, et regardant $dt$ comme constante, on aura

${\begin{aligned}{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dx+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x,\\{\frac {2\mathrm {T} d\mathrm {T} dy+2\mathrm {T} ^{2}d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y,\end{aligned}}$

équations qui, étant ajoutées ensemble, en supposant

$x+y=p,$

donnent celle-ci :

${\frac {\mathrm {T} d\mathrm {T} dp+\mathrm {T} ^{2}d^{2}p}{dt^{2}}}=\beta +\gamma p.$

Or, soit

$x-y=q,$

et supposons $\mathrm {T}$ une fonction de $p$ et $q,$ en sorte que l’on ait

$d\mathrm {T} =\mathrm {M} dp+\mathrm {N} dq,$

on aura

${\frac {d\mathrm {T} dp}{dt^{2}}}={\frac {\mathrm {M} dp^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {N} dpdq}{dt^{2}}}\,;$

mais

${\frac {dpdq}{dt^{2}}}={\frac {dx^{2}-dy^{2}}{dt^{2}}}={\frac {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}-{\frac {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}{\mathrm {T} ^{2}}}={\frac {\beta q+\gamma pq}{\mathrm {T} ^{2}}}\,;$