Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 2.djvu/129

l’état $\mathrm {ANB}$ la force de la colonne à un point quelconque $\mathrm {N}$ sera proportionnelle à ${\frac {\mathrm {K} }{\rho }},$ en désignant par $\rho$ le rayon osculateur de la courbe $\mathrm {ANB} .$ D’un autre côté, si l’on nomme $\mathrm {P}$ le poids comprimant à l’extrémité $\mathrm {B} ,$ il est facile de voir que le moment de ce poids par rapport au point $\mathrm {N}$ sera exprimé par $\mathrm {P\times MN} \,;$ de sorte que la condition de l’équilibre donnera d’abord cette équation, $\mathrm {P\times MN={\frac {K}{\rho }}} ,$ d’où l’on pourra connaître tant la nature de la courbe $\mathrm {ANB}$ que la valeur de $\mathrm {P}$.

5. Nommons pour cela les abscisses $\mathrm {AM} =x$ et les ordonnées $\mathrm {MN} =y\,;$ et comme on suppose que la courbure de la colonne soit partout infiniment petite, on aura $y$ infiniment petit par rapport à \alpha $x,$ et $dy$ infiniment petit par rapport à $dx\,;$ de sorte que l’élément de la courbe

$ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}$

sera à très-peu près et sans erreur sensible égal à $dx.$ Or on sait qu’en prenant $dx$ constant, on a $\rho ={\frac {ds^{2}}{-dxd^{2}y}}\,;$ donc on aura dans notre cas $\rho ={\frac {dx^{2}}{-d^{2}y}}\,;$ par conséquent l’équation à la courbe $\mathrm {ANB}$ sera

$\mathrm {P} y=-\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},$

c’est-à-dire

$\mathrm {P} y+\mathrm {K} {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0.$

Il faudra donc intégrer d’abord cette équation, ensuite faire en sorte que l’expression de $y$ soit nulle aux deux points $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ c’est-à-dire lorsque $x=0$ et lorsque $x=\mathrm {AB} ,$ hauteur de la colonne. Or l’intégration est facile, à cause que $\mathrm {P}$ et $\mathrm {K}$ sont des quantités constantes, et l’on aura en général

$y=f\sin \left(x\mathrm {\frac {P}{K}} +g\right),$

$f$ et $g$ étant des constantes arbitraires ; donc, si l’on nomme $a$ la hauteur