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8. Cela posé, je vais commencer par chercher l’intégrale de l’équation (C) du n^o 5 ; pour cela je fais

$dt={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},$

en sorte que l’on ait les deux équations suivantes :

${\begin{aligned}dt&={\frac {dx}{\sqrt {\alpha +\beta x+\gamma x^{2}}}},\\dt&={\frac {dy}{\sqrt {\alpha +\beta y+\gamma y^{2}}}}.\end{aligned}}$

Je multiplie ces deux équations en croix, et je les quarre pour les délivrer du signe radical, ce qui me donne ces deux-ci :

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta x+\gamma x^{2},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\alpha +\beta y+\gamma y^{2}.\end{aligned}}$

Je différentie maintenant ces équations en prenant $dt$ pour constante, et divisant la première par $dx,$ et la seconde par $dy$ j’aurai

${\begin{aligned}2{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma x,\\2{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=&\beta +2\gamma y.\end{aligned}}$

Or, en ajoutant ces deux équations ensemble, et faisant $x+y=p,$ on aura l’équation

$2{\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=2\beta +2\gamma p,$

laquelle étant multipliée par $dp,$ et ensuite intégrée, donne

${\frac {d^{2}p}{dt^{2}}}=k+2\beta p+\gamma p^{2},$

$k$ étant la constante arbitraire ; d’où l’on tire

${\frac {dp}{dt}}={\sqrt {k+2\beta p+\gamma p^{2}}}.$