on aura
et par conséquent
qui est l’équation différentielle proposée. Or, comme les coefficients donnés ne sont qu’au nombre de cinq, et que les coefficients indéterminés sont au nombre de six, il est clair qu’il en restera toujours un d’indéterminé qui tiendra lieu de la constante arbitraire qui doit se trouver dans l’intégrale.
Cette intégration est d’autant plus remarquable qu’elle n’est due qu’à une espèce de hasard heureux, et qu’il ne serait pas même possible d’y arriver par les méthodes connues des Géomètres jusqu’à présent (voyez dans les tomes VI et VII des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg plusieurs excellents Mémoires de M. Euler sur ce sujet). J’ai donc cru que re serait un travail avantageux aux progrès de l’Analyse que de chercher une méthode directe pour intégrer les équations de cette espèce, et voici celle que j’ai trouvée. Elle est fondée sur le principe suivant.
7. Quand on a une équation différentielle du premier degré dont on ne peut trouver l’intégrale, il faut la différentier et examiner si, en combinant cette nouvelle équation avec la proposée, on pourrait trouver une équation intégrale du premier degré autre que l’équation proposée ; car alors, en chassant par le moyen de ces deux équations les premières différences, on aura une équation algébrique qui sera l’intégrale cherchée.
Si l’intégration ne réussit pas de cette manière, il faut passer à la différentielle du troisième degré, et chercher si l’on pourrait ainsi parvenir à une nouvelle équation du second degré ; en ce cas il n’y aurait plus qu’à éliminer les différences secondes et troisièmes par le moyen de l’équation proposée et de sa différentielle. Et ainsi de suite.
