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on aura

$\int \mathrm {X} ddx+\int \mathrm {Y} dy=2\alpha (x+y)-{\frac {2\beta }{\sqrt {x}}}-{\frac {2\gamma }{\sqrt {y}}}-\delta ,$

$\delta$ étant une constante arbitraire.

Ainsi l’équation (D) deviendra

(F)

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {ydx^{2}+xdy^{2}+(1-x-y)dxdy}{2dt^{2}}}\\&\ \ +{\frac {2(x+y)-(x-y)^{2}-1}{2}}\left[2\alpha (x+y)-{\frac {2\beta }{\sqrt {x}}}-{\frac {2\gamma }{\sqrt {y}}}-\delta \right]={\frac {\varepsilon }{2}}.\end{aligned}}\right.$

Pour avoir maintenant l’autre équation intégrale, il ne s’agira que de faire dans l’équation (C) les substitutions indiquées dans l’Article VI ; et comme les quantités $b,\mathrm {K}$ et $i$ sont encore indéterminées, on pourra faire, pour une plus grande simplicité, $\mathrm {K} =1,\ b=0,\ 2i+\mathrm {K} =0,$ c’est-à-dire, $i=-{\frac {1}{2}},$ moyennant quoi on aura

${\begin{aligned}\mathrm {V} =&-{\frac {\alpha (x-y)^{2}}{2}}-\beta \left({\sqrt {x}}-{\frac {y}{\sqrt {x}}}\right)-\gamma \left({\sqrt {y}}-{\frac {x}{\sqrt {y}}}\right),\\\mathrm {A} =&0,\quad \mathrm {C=0,\quad B=1,\quad E} ={\frac {2(x+y)-1}{2}},\end{aligned}}$

et l’équation (C) deviendra

${\begin{aligned}{\frac {dxdy}{2dt^{2}}}&+{\frac {2(x+y)-1}{2}}[\left[2\alpha (x+y)-{\frac {2\beta }{\sqrt {x}}}-{\frac {2\gamma }{\sqrt {y}}}+\delta \right]\\&-{\frac {\alpha (x-y)^{2}}{2}}-\beta \left({\sqrt {x}}-{\frac {y}{\sqrt {x}}}\right)-\gamma \left({\sqrt {y}}-{\frac {x}{\sqrt {y}}}\right)=\mathrm {const} .,\end{aligned}}$

ou bien, en prenant une constante quelconque $\zeta$ et réduisant,

(G)

$\left\{{\begin{aligned}{\frac {dxdy}{2dt^{2}}}&+{\frac {\alpha }{2}}\left(3x^{2}+3y^{2}+10xy-2x-2y\right)\\-\beta &\left(3{\sqrt {x}}+{\frac {y-1}{\sqrt {x}}}\right)-\gamma \left(3{\sqrt {y}}+{\frac {x-1}{\sqrt {y}}}\right)-\delta (x+y)-{\frac {\zeta }{2}}=0.\end{aligned}}\right.$

Et si l’on multiplie cette équation par $1-x-y,$ et qu’ensuite on