Si cette, équation est identique, l’équation en
aura pour intégrale une équation de la forme
![{\displaystyle 0=a+a^{(1)}x+a^{(2)}y+xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff81d48363f7a5b838d03c4c77a32d5fef581f9)
et, si
est fonction de
et de
l'intégrale sera
![{\displaystyle 0=a^{(1)}+p'+x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/435c7a7daa6ca344f5206a2f71dd3a045820b3c2)
étant l'arbitraire. L’équation
![{\displaystyle 0=x+{\frac {\partial p'}{\partial x}}+p{\frac {\partial p'}{\partial y}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff761ada0f7bc113e9e1efaafa3dd4e8085220f5)
est une équation aux différences partielles du second ordre entre
et ses différences partielles ; son intégrale renferme toutes les valeurs de
telles que l’équation
est susceptible d’une intégrale de cette forme
![{\displaystyle 0=a+a^{(1)}x+a^{(2)}y+xy\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ff81d48363f7a5b838d03c4c77a32d5fef581f9)
et soit
et
on aura
(2)
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en différentiant, on aura
![{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=p=-{\frac {\varphi (a)-y}{\psi (a)+x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2a712a99f0928c17106c09825ae7d0152d99540)
en éliminant
de cette valeur de
au moyen de l’équation (2), on aura l’intégrale complète de l’équation précédente aux différences partielles du second ordre,'puisque cette intégrale dépend des deux fonctions arbitraires
et
on aura ensuite toutes les solutions particulières, au moyen des équations
![{\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial a}}=0\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial y}{\partial a}}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/baeab37ef786e7f51d42bfca2b4b32cbf1b170c4)
Vous voyez ainsi que toutes les équations différentielles dont l’intégrale est algébrique offrent des paradoxes analogues à celui qui fait l’objet du Mémoire de M. Clairaut[1], et que l’on peut toujours dé-
- ↑ Voir dans les Mémoires de l’Académie de 1740, p. 293, le Mémoire de Clairaut, sur l’intégrationt ou la construction des équations différentielles du premier ordre.