précédente sous cette forme
![{\displaystyle {\frac {\psi (x)}{1+z{\cfrac {\mathrm {C+D} x}{\mathrm {A+B} x}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/055c8ef03d0dec00be20fe1fe26b14e8c8a6a994)
étant une fonction arbitraire de
le coefficient de
sera donc
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9d32c6cb0fa3ef0695650d54f6d00d451d8af27)
Il ne s’agit plus que d’avoir la valeur de
dans cette quantité ; pour cela, je développe
en série, et j’ai, au lieu de cette quantité, celle-ci
![{\displaystyle \mathrm {N} +\mathrm {N} 'x+\mathrm {N} ''x^{2}+\mathrm {N} '''x^{3}+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0f14829ada17c668d7d47904c3fd3cf0910761f)
donc
![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x)=\mathrm {N} \psi (x)+\mathrm {N} 'x\psi (x)+\mathrm {N} ''x^{2}\psi (x)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/818f69af4c4238667949f44e9825a5a11bf34baa)
Pour avoir le coefficient de
dans cette quantité, il faut connaître, dans le développement de
les coefficients de
or,
étant une fonction arbitraire, on peut représenter par
le coefficient de
étant une fonction arbitraire de
on aura donc, pour le coefficient de
dans le développement de ![{\displaystyle \left({\frac {\mathrm {-C-D} x}{\mathrm {A+B} x}}\right)^{n}\psi (x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f735bbda06a19f6c4a79f9d5706daf84b570c2c0)
![{\displaystyle \mathrm {N} \Gamma (m)+\mathrm {N} '\Gamma (m-1)+\mathrm {N} ''\Gamma (m-2)+\ldots \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16b99dbe9caca7422c11e724c38931aa6410d88e)
donc
![{\displaystyle y_{m,n}=\mathrm {N} \Gamma (m)+\mathrm {N} '\Gamma (m-1)+\ldots ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57b8e11f10d9dfe1c397c6e7501d75d7c0da3293)
résultat entièrement conforme au vôtre. Je n’avais pas poussé plus loin ces recherches, sachant que vous vous occupiez du même objet, et persuadé que vous n’y laisseriez rien à désirer.
Votre solution du problème des parties dans le cas de trois ou d’un plus grand nombre de joueurs est fort générale et fort simple ; celle que j’en ai donnée dans mes recherches est très compliquée j’en ai donné une autre beaucoup plus simple dans l’errata des Mémoires des Savants étrangers pour l’année 1773[1]. Il s’y est glissé une légère faute
- ↑ Voyez le Recueil des Savants étrangers, t. VI, p. 632 et suiv., année 1774, et Mémoires de l’Académie, p. 341, année 1773.