Votre manière de parvenir aux équations différentielles en et en est très belle ; voici comment on peut trouver directement celles des excentricités et des aphélies. Je prends la solution du problème des trois corps de Clairaut (Théorie de la Lune, p. 6) et j’observe que, puisque
si l’on fait
on a
en sorte que sera l’exentricité, et le lieu de l’aphélie, et il est remarquable que les quantités et peuvent être regardées comme constantes pendant que les quantités et varient de et de car, comme
il suffit de démontrer que la différentielle de cette équation est nulle, en ne faisant varier que les deux quantités c’est-à-dire que
mais
donc, etc. Je fais donc
j’ai
et ensuite j’ai, en différentiant, les équations
si l’on substitue dans ces équations et dans les autres semblables les valeurs de et de en et et que l’on ne conserve que les termes où seront linéaires et multipliés par des coefficients