l’équation
puisque
ou
et
je forme cette équation
qui, étant possible, prouve la possibilité de la proposée ; et dans l’exemple rapporté ci-dessus
puisque
et partant
le jugement se réduit à cette équation
qui est sans doute possible mais je dois avouer à ma confusion que je ne saurais démontrer cette règle, et, quand même on en trouverait une démonstration, cela ne servirait en rien à la solution actuelle de l’équation
J’attends avec la plus grande impatience le IVe Volume des Mémoires de Turin, que vous aurez la bonté, Monsieur, de m’envoyer, ne pouvant douter qu’ils ne soient remplis de vos très excellentes recherches, et je vous en présente d’avance mes remercîments les plus empressés, ayant l’honneur d’être, avec la plus parfaite considération, Monsieur, votre très humble serviteur,
L. Euler.
P. S. Il y a quelque temps, Monsieur, que j’ai trouvé une solution complète du problème suivant :
Il s’agit de trouver trois fonctions
et
de deux variables
et
telles que, posant
on satisfasse aux conditions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}&\mathrm {I} .&&\mathrm {P} ^{2}&+&\mathrm {Q} ^{2}&+&\mathrm {R} ^{2}&=&1,\\&\mathrm {II} .&&p^{2}&+&\ q^{2}&+&\ r^{2}&=&1,\\&\mathrm {III} .\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &&\mathrm {P} p&+&\mathrm {Q} q&+&\mathrm {R} r&=&0.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e234c8a4643889611bc31180f943163c375e5e29)
Or la nature des différentielles demande encore les conditions suivantes :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\mathrm {I} .&{\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial u}}=&{\frac {\partial p}{\partial t}},\\&\mathrm {II} .&{\frac {\partial \mathrm {Q} }{\partial u}}=&{\frac {\partial q}{\partial t}},\\&\mathrm {III} .\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad &{\frac {\partial \mathrm {R} }{\partial u}}=&{\frac {\partial r}{\partial t}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad6463dca73289467f2447b5aa0938d6a075717)