moires différents. Vous savez, Monsieur, que j’ai beaucoup travaillé dans cette espèce d’analyse et que j’en connais parfaitement toutes les difficultés, et partant j’ai vu avec la plus grande satisfaction que vous en avez surmonté quelques-unes très heureusement. La méthode que vous employez pour résoudre l’équation
est d’autant plus ingénieuse qu’elle ne suppose rien qui ne soit fondé que sur l’induction. J’ai été curieux d’appliquer d’abord vos méthodes à des exemples, qui ont pour la plupart très bien réussi ; mais l’exemple suivant m’a causé quelque embarras, où il s’agit de résoudre en nombres entiers
Selon votre méthode, il faut donc chercher un nombre
plus petit que
de sorte que
soit divisible par
où j’ai trouvé
et de là
pendant que
et
d’où l’on tire
et
donc, selon votre méthode, on trouverait
![{\displaystyle p={\frac {\alpha p_{1}\mp \mathrm {B} q_{1}}{\mathrm {A} _{1}}}={\frac {35.5\mp 13}{12}}\qquad {\text{et}}\qquad q={\frac {\alpha q_{1}\mp p_{1}}{\mathrm {A} _{1}}}={\frac {35.5\mp 5}{12}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6facdcb6f804f63415e8b8474dfd072c99f0d004)
et partant, ces nombres n’étant pas entiers, on devrait conclure que ce cas n’est pas possible ; cependant, on satisfait à cette question en prenant
et
ce qui me faisait croire que votre méthode était insuffisante.
Mais, en écrivant cela, je vois que je n’ai pas assez bien observé les préceptes que vous donnez ; car, puisque
est divisible par le carré
il faut poser
ce qui donne
et
d’où l’on doit prendre
et
et alors on aura
![{\displaystyle p={\frac {35.8\mp 13.2}{12}}={\frac {140\mp 13}{6}}\qquad {\text{et}}\qquad q={\frac {35.2\mp 8}{12}}={\frac {35\mp 4}{6}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/678ac830a6669295e29b4d474123c36ec3a9569e)
or ces formules ne sauraient donner des nombres entiers. Cependant je vois bien qu’on parviendrait à ma solution, si l’on prenait
et
vu que
car de là on tirerait
![{\displaystyle p={\frac {35.47\mp 13.13}{12}}\qquad {\text{et}}\qquad q={\frac {35.13\mp 47}{12}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39ffafb43f254d25894026720ad531d51bcd8dc8)