Ensuite, nous trouvons
![{\displaystyle \mathrm {A=E,\qquad B=F,\qquad {\text{et}}\qquad C=G} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a92c3e452b04067783cc1dfa810229e3eeac31)
et enfin, pour nous débarrasser des autres lettres, remarquons que
![{\displaystyle \mathrm {L} =1+{\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }},\qquad \mathrm {Q} =1+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }},\qquad \mathrm {V} =1+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4130409232ca797bcbada1ce6daaf2fb6076bff3)
de sorte que, outre les coordonnées
avec le temps
il ne reste dans le calcul que les lettres
qui marquent le déplacement de chaque point ; car, substituant ces valeurs que nous venons de trouver, le mouvement causé par une agitation quelconque, mais fort petite, sera déterminé par les trois équations suivantes
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial X\partial Y} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial X\partial Z} }},\\&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\mathrm {\partial X\partial Y} }}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial Y^{2}} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial Y\partial Z} }},\\{\text{et}}\qquad \qquad &\\&&{\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}r}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}p}{\mathrm {\partial X\partial Z} }}+{\frac {\partial ^{2}q}{\mathrm {\partial Y\partial Z} }}+{\frac {\partial ^{2}r}{\mathrm {\partial Z^{2}} }},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a16fde6525a68842462c5ad4124e2d2c711c41d8)
ou bien, en posant
![{\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial \mathrm {X} }}+{\frac {\partial q}{\partial \mathrm {Y} }}+{\frac {\partial r}{\partial \mathrm {Z} }}=u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d96480e6e54106f056559a61ede93d8d2ff16545)
nous aurons
![{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}p}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {X} }},\qquad {\frac {\partial ^{2}q}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {Y} }},\qquad {\text{et}}\qquad {\frac {\partial ^{2}r}{\partial t^{2}}}=2gh{\frac {\partial u}{\partial \mathrm {Z} }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/728cf0e7bcb86fed9edad969b6ff6bea212d2b5e)
d’où il est aisé de conclure
![{\displaystyle {\frac {1}{2gh}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {X} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {Y} ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \mathrm {Z} ^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5404a1d75fe15a883a52c5d9acc4b4d0ba7f4b2)
d’où il faut déterminer la nature de la fonction
déterminée par les coordonnées
et le temps ![{\displaystyle t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e6cc375ac6123d2342be53eba87b92fbbacf07)
De là, il n’est pas difficile de trouver une infinité de solutions particulières, comme
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&p=\beta \Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\\&&q=\gamma \Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\\{\text{et}}\quad \qquad \qquad &\\&&r=\delta \,\Phi (\alpha t+\beta \mathrm {X+\gamma Y+\delta Z} ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab8060e0ad4177b8bc07b718f1b22a757c9b38a1)