Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/98

90

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

On aurait encore les mêmes résultats en changeant $b$ en $e,$ si l’on voulait conserver l’excentricité à la place du paramètre.

70. Considérons ensuite la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial h}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial h}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial h}}.$

Comme la quantité $h$ ne se trouve que dans les coefficients, $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha _{1},\ldots ,$ qui ne contiennentpoint $a,$ on a

${\frac {\partial x}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} +{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ,\quad {\frac {\partial x'}{\partial h}}={\frac {\partial \alpha }{\partial h}}\mathrm {X} '+{\frac {\partial \beta }{\partial h}}\mathrm {Y} ',$

et changeant $\alpha ,\,\beta$ en $\alpha _{1},\,\beta _{1}$ et en $\alpha _{2},\,\beta _{2}$ on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial h}},\,{\frac {\partial y'}{\partial h}},$ ${\frac {\partial z}{\partial h}},\,{\frac {\partial z'}{\partial h}}.$ À l’égard des différences partielles relatives à $a,$ elles seront les mêmes que dans l’article précédent.

En faisant ces substitutions, on remarquera qu’en vertu des mêmes équations de condition différentiées, on aura

$\alpha d\alpha +\alpha _{1}d\alpha _{1}+\alpha _{2}d\alpha _{2}=0,\qquad \beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=0,$

$\alpha d\beta +\alpha _{1}d\beta _{1}+\alpha _{2}d\beta _{2}=-\beta d\alpha -\beta _{1}d\alpha _{1}-\beta _{2}d\alpha _{2}=0\,;$

de sorte qu’en faisant, pour abréger,

$\beta d\beta +\beta _{1}d\beta _{1}+\beta _{2}d\beta _{2}=d\chi$

[j’emploie l’expression différentielle $d\chi$^[1], quoique la valeur de $d\chi$ ne soit pas une différentielle complète], la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial h}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial h}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial h}}$

1. Il n’y a dans la question qu’une variable indépendante qui est le temps. Toute expression différentielle peut donc être intégrée, et l’observationde Lagrange semble, par conséquent, inutile. J’ajouterai qu’elle est de nature à embarrasser le lecteur, qui doit voir plus loin (art. 73)) adopter cette lettre $\chi$ comme l’une des constantes variables du problème. (J. Bertrand.)