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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

et changeant $\alpha ,\,\beta$ en $\alpha _{1},\,\beta _{1}$ et $\alpha _{2},\,\beta _{2},$ on aura les valeurs de ${\frac {\partial y}{\partial a}},\,{\frac {\partial y'}{\partial a}},\ldots .$

Ces différentes valeurs étant substituées dans la formule précédente, et ayant égard aux équations de condition

\alpha ^{2}+\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}=1,\qquad \beta ^{2}+\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}=1,\qquad \alpha \beta +\alpha _{1}\beta _{1}+\alpha _{2}\beta _{2}=0,

qui ont lieu entre les coefficients $\alpha ,\beta ,\alpha _{1},\ldots$ (art. 14), cette formule se réduira à la forme

{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}-{\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+{\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}}{\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},

où l’on voit que les quantités, $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha ',\ldots ,$ qui dépendent de la position de l’orbite, ont disparu.

On aura un pareil résultat par rapport aux différences partielles relatives à $c,$ et il n’y aura qu’à changer dans la formule précédente $a$ et $b$ en $c.$

Si donc on substitue dans $\mathrm {X,\,Y,\,X',\,Y'}$ leurs valeurs en $t,$ qu’ensuite on fasse $t$ égal à zéro ou à une quantité quelconque déterminée, et qu’on désigne par $X,\,Y,\,X',\,Y'$ ce que $\mathrm {X,\,Y,\,X',\,Y'}$ deviennent, on aura (art. 64)