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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et une élégance qu’il n’aurait pas, à beaucoup près, par les autres formules.

67. Reprenons les expressions de $x,\,y,\,z$ données dans l’article 13,

$x=\alpha \mathrm {X+\beta Y} ,\qquad y=\alpha _{1}\mathrm {X+\beta _{1}Y} ,\qquad z=\alpha _{2}\mathrm {X+\beta _{2}Y} ,$

dans lesquelles (art.  17)

$\mathrm {X} =a(\cos \theta -e),\qquad \mathrm {Y} =a{\sqrt {1-e^{2}}}\sin \theta ,$

l’angle $\theta$ étant déterminé par l’équation (art.  16)

$t-c={\sqrt {\frac {a^{3}}{\mathrm {g} }}}(\theta -e\sin \theta ).$

Ces formules ont l’avantage que les trois éléments de l’orbite $a,\,b,\,c,\ldots ,$ ne se trouvent que dans les quantités variables $\mathrm {X,\,Y} ,$ et sont, par conséquent, séparés des trois éléments $h,\,i,\,k$ qui dépendent de la position de l’orbite et dont les coefficients $\alpha ,\,\beta ,\,\alpha ',\ldots$ sont fonctions (art.  13).

Considérons d’abord la formule

${\frac {\partial x}{\partial a}}{\frac {\partial x'}{\partial b}}+{\frac {\partial y}{\partial a}}{\frac {\partial y'}{\partial b}}+{\frac {\partial z}{\partial a}}{\frac {\partial z'}{\partial b}}-{\frac {\partial x'}{\partial a}}{\frac {\partial x}{\partial b}}-{\frac {\partial y'}{\partial a}}{\frac {\partial y}{\partial b}}-{\frac {\partial z'}{\partial a}}{\frac {\partial z}{\partial b}},$

et substituons-y les valeurs de $x,\,y,\,z$ données ci-dessus ; en faisant

$\mathrm {X} '={\frac {d\mathrm {X} }{dt}},\quad \mathrm {Y} '={\frac {d\mathrm {Y} }{dt}},$

on aura pour $x',\,y',\,z'$ les mêmes expressions, où les quantités $\mathrm {X,\,Y}$ seront marquées d’un trait ; et comme les constantes $a,\,b$ n’entrent que dans $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$, on aura

${\begin{alignedat}{2}{\frac {\partial x}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial a}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial a}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial a}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial a}},\\{\frac {\partial x}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} }{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} }{\partial b}},\qquad &{\frac {\partial x'}{\partial b}}=&\alpha {\frac {\partial \mathrm {X} '}{\partial b}}+\beta {\frac {\partial \mathrm {Y} '}{\partial b}}\,;\end{alignedat}}$