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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

chets ronds (art. 63), on y remarque une analogie singulière, qui consiste en ce qu’elles sont exprimées de la même manière en différences partielles de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ relatives à $\mathrm {x,\,x',\,y} ,\ldots ,$ ou de $\mathrm {x,\,x',\,y} ,\ldots ,$ relatives à $a,\,b,\,c,\ldots .$

65. Ces dernières formules sont celles que j’avais trouvées directement, dans mon premier Mémoire sur la variation des constantes arbitraires^[1], et elles résultent aussi immédiatement de la formule de l’article 12 de la Section V, laquelle, en faisant les substitutions indiquées ci-dessus (art. 61), se réduit à

$\Delta \Omega dt=\mathrm {\Delta \mathrm {x} \delta \mathrm {x} '+\Delta \mathrm {y} \delta \mathrm {y} '+\Delta \mathrm {z} \delta \mathrm {z} '-\Delta \mathrm {x} '\delta \mathrm {x} -\Delta \mathrm {y} '\delta \mathrm {y} -\Delta \mathrm {z} '\delta \mathrm {z} } .$

Dans cette formule, les différences marquées par $\delta$ doivent se rapporter aux variations de toutes les constantes $a,\,b,\,c,\ldots ,$ mais les différences marquées par peuvent se rapporter à la variation de chacune de ces constantes en particulier (Section citée, art. 10). Ainsi l’on aura, en rapportant la caractéristique $\Delta$ successivement à $a,\,b,\,c,\ldots ,$

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}dt={\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\delta \mathrm {x} '+{\frac {\partial \mathrm {y} }{\partial a}}\delta \mathrm {y} '+{\frac {\partial \mathrm {z} }{\partial a}}\delta \mathrm {z} '-{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}\delta \mathrm {x} -{\frac {\partial \mathrm {y} '}{\partial a}}\delta \mathrm {y} -{\frac {\partial \mathrm {z} '}{\partial a}}\delta \mathrm {z} ,$

et de même en changeant $a$ en $b,c,\ldots .$

Mais on a

${\begin{aligned}\delta \mathrm {x} \ =&{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial a}}\ da+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial b}}\ db+{\frac {\partial \mathrm {x} }{\partial c}}dc+\ldots ,\\\delta \mathrm {x} '=&{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial a}}da+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial b}}db+{\frac {\partial \mathrm {x} '}{\partial c}}dc+\ldots ,\end{aligned}}$

et de même pour $\mathrm {\delta y,\,\delta y',\,\delta z,\,\delta z'} \,;$ en faisant ces substitutions, on a pour ${\frac {\partial \Omega }{\partial a}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\ldots$ les mêmes formules trouvées ci-dessus.

Mais une conséquence importante qui résulte de ces formules, c’est que la variation de la fonction $\Omega ,$ en tant qu’elle dépend de celle des

1. Voir les Mémoires de la première Classe de l’Institut pour 1808^*. (Note de Lagrange.)
   

   * Œuvres de Lagrange, t. VI, p. 769.    G. D.

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