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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont supposées tendre à augmenter les lignes $x,\,y,\,z,$ comme nous l’avons déjà observé dans l’article $60$^[1].

63. Pour appliquer les formules générales de l’article 18 de la Section citée aux éléments d’une planète, il n’y a qu’à considérer que les coordonnées $x,\,y,\,z,$ étant indépendantes, doivent être prises pour les variables $\xi ,\,\psi ,\,\varphi \,;$ et, comme il n’y a qu’un seul corps mobile dont la masse peut être supposée égale à l’unité, on aura simplement, comme dans l’article_3,

$\mathrm {T} ={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{2dt^{2}}}={\frac {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}{2}}\,;$

donc

${\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial x'}}=x',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial y'}}=y',\qquad {\frac {\partial \mathrm {T} }{\partial z'}}=z'.$

Ainsi les constantes $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ et $\lambda ,\,\mu ,\,\nu ,$ qui représentent les valeurs de $x,\,y,\,z$ et de $x',\,y',\,z'$ lorsque $t=0$ (Sect. V, art. 12), seront ici $\mathrm {x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'}$ (art. 31), et les variations des éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ deviendront de la forme

${\begin{aligned}&da=\left[+(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial b}}+(a,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&db=\left[-(a,b){\frac {\partial \Omega }{\partial a}}+(b,c){\frac {\partial \Omega }{\partial c}}+\ldots \right]dt,\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots ,\end{aligned}}$

les coefficients représentés par les symboles $(a,\,b),(a,\,c),\ldots$ étant exprimés ainsi :

${\begin{aligned}&(a,b)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial b}{\partial \mathrm {z} '}},\\&(a,c)={\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} }}+{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} '}}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} }}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {x} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {x} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {y} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {y} '}}-{\frac {\partial a}{\partial \mathrm {z} }}{\frac {\partial c}{\partial \mathrm {z} '}},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}$

1. L’introduction de la fonction $\Omega$ dans un raisonnement relatif au cas où cette fonction n’existe pas donne à ce paragraphe une apparence d’obscurité qu’un peu d’attention fait néanmoins disparaître. (J. Bertrand.)