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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

62. Nous avons supposé, dans l’article 60, que les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ pouvaient s’exprimer par les différences partielles d’une même fonction $\Omega$ relatives à $x,\,y,\,z.$ Cette hypothèse simplifie le calcul, mais n’est pas absolument nécessaire pour son exactitude, puisque les équations différentielles sont toujours indépendantes de la nature des forces accélératrices du mobile ; il s’agit seulement de savoir ce qu’on doit substituer à la place des différences partielles de $\Omega$ relatives aux constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots .$ Or ces constantes n’entrent dans la fonction $\Omega$ que parce qu’elles entrent dans les expressions des variables $x,\,y,\,z,$ dont $\Omega$ est supposé fonction ; ainsi l’on aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}={\frac {\partial \Omega }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial a}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial a}},$

et, remettants $\mathrm {X,Y,Z}$ à la place de ${\frac {\partial \Omega }{\partial x}},{\frac {\partial \Omega }{\partial y}},{\frac {\partial \Omega }{\partial z}},$ on aura

${\frac {\partial \Omega }{\partial a}}=\mathrm {X} {\frac {\partial x}{\partial a}}+\mathrm {Y} {\frac {\partial y}{\partial a}}+\mathrm {Z} {\frac {\partial z}{\partial a}},$

quelles que soient les valeurs de $\mathrm {X,\,Y,\,Z} .$ Il en sera de même à l’égard de ${\frac {\partial \Omega }{\partial b}},\,{\frac {\partial \Omega }{\partial c}},\ldots ,$ en changeant $a$ en $b,\,c,\ldots .$

En général, si l’on dénote par la caractéristique $\delta$ les variations de $\Omega$ relatives aux constantes arbitraires $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on aura

$\delta \Omega =\mathrm {X} \delta x+\mathrm {Y} \delta y+\mathrm {Z} \delta z\,;$

et si l’on suppose que les forces perturbatrices soient $\mathrm {R,\,Q,\,P} ,\ldots ,$ tendantes à des centres dont les distances respectives soient $\mathrm {r,\,q,\,p} ,\ldots ,$ ce qui donne

$-d\Omega =\mathrm {R} d\mathrm {r} +\mathrm {Q} d\mathrm {q} +\mathrm {P} d\mathrm {p} +\ldots ,$

on aura aussi, relativement aux constantes arbitraires,

$-\delta \Omega =\mathrm {R\delta r+Q\delta q+P\delta p} +\ldots ,$

Je donne ici à $d\Omega$ le signe $-$ parce que les forces $\mathrm {R,\,Q,\,P} ,\ldots$ sont supposées tendre à diminuer les distances $\mathrm {r,\,q,\,p} ,\ldots ,$ au lieu que les