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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

vement elliptique de la planète, comme on peut s’en assurer par la différentiation, en faisant varier le temps $t$ dans les coefficients.

61. En effet, puisque $a$ est censé fonction de $t,\,x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z',$ et que $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ varient aussi avec $t,$ de manière que

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'$

et

${\frac {dx'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}},\qquad {\frac {dy'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}},\qquad {\frac {dz'}{dt}}=-{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}},$

par les équations différentielles du problème (art. 4), il s’ensuit qu’on aura, en différentiant par rapport à $t,$

$d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'\\&\quad -{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\end{aligned}}\right\}dt.$

Mais, $a$ étant une des constantes arbitraires introduites par l’intégration des mêmes équations, sa différentielle relative à $t$ doit devenir identiquement nulle par les mêmes valeurs de ${\frac {dx'}{dt}},\,{\frac {dy'}{dt}},\,{\frac {dz'}{dt}}\,;$ on aura donc

${\frac {\partial a}{\partial t}}+{\frac {\partial a}{\partial x}}x'+{\frac {\partial a}{\partial y}}y'+{\frac {\partial a}{\partial z}}z'-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}=0,$

équation identique qui subsistera, par conséquent, en faisant varier séparément $x,\,y,\,z,\,x',\,y',\,z'.$

Faisons varier $x\,;$ on aura donc aussi

${\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial t}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}x'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y}}y'+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z}}z'$

${\begin{aligned}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial x'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial x}}&-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial y'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x\partial z'}}{\frac {\partial \mathrm {V} }{\partial z}}\\-{\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}&-{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}\ \,-{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}=0.\end{aligned}}$

Donc la valeur de la différentielle de ${\frac {\partial a}{\partial x}}$ se réduira à

$d{\frac {\partial a}{\partial x}}=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial a}{\partial y'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial a}{\partial z'}}{\frac {\partial ^{2}\mathrm {V} }{\partial x\partial z}}\right)dt.$