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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

et l’on trouvera de la même manière

$dy={\frac {\partial y}{\partial t}}dt,\qquad dz={\frac {\partial z}{\partial t}}dt,$

comme si les constantes $a,b,c,h,\ldots$ ne variaient point.

60. Lorsque les forces perturbatrices viennent des attractions d’autres corps fixes ou mobiles, et que ces attractions sont proportionnelles à des fonctions des distances, alors, si l’on désigne, comme dans l’article 8 de la Section V, par $-\Omega$ la somme des intégrales de chaque force multipliée par l’élément de sa distance au centre d’attraction, et qu’on regarde la quantité $\Omega$ comme fonction de $x,\,y,\,z,$ les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ sont de la forme

$\mathrm {X} ={\frac {\partial \Omega }{\partial x}},\qquad \mathrm {Y} ={\frac {\partial \Omega }{\partial y}},\qquad \mathrm {Z} ={\frac {\partial \Omega }{\partial z}}\,;$

je donne ici le signe $+$ à la quantité $\Omega ,$ parce que j’ai supposé que les forces $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ tendent à augmenter les distances $x,\,y,\,z,$ au lieu que, dans les fonctions $-\Omega ,$ les forces perturbatrices, dirigées sur des centres, sont supposées tendre à diminuer les distances des corps à ces centres.

Dans ce cas, qui est celui de la nature, les variations des éléments $a,\,b,\,c,\ldots$ peuvent s’exprimer d’une manière plus simple, en employant, au lieu des différences partielles de $\Omega$ relatives à $x,\,y,\,z,$ ses différences partielles relatives à $a,\,b,\,c,\ldots ,$ après la substitution des valeurs de $x,y,z$ en $t$ et $a,\,b,\,c,\ldots \,;$ c’est cette considération qui a fait naître la nouvelle théorie de la variation des constantes arbitraires.

Si l’on regarde $x,\,y,\,z$ comme fonctions de $a,\,b,\,c,\ldots ,$ on aura

${\begin{aligned}{\frac {\partial \Omega }{\partial x}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial x}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial x}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial y}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial y}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial y}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial y}}+\ldots ,\\{\frac {\partial \Omega }{\partial z}}=&{\frac {\partial \Omega }{\partial a}}{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {\partial \Omega }{\partial b}}{\frac {\partial b}{\partial z}}\,+{\frac {\partial \Omega }{\partial c}}{\frac {\partial c}{\partial z}}+\ldots \,;\end{aligned}}$