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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

§ II. — Variations des éléments des planètes produites
par des forces perturbatrices.

58. Supposons maintenant que les impulsions qui changent les constantes arbitraires soient infiniment petites et continuelles ; ces constantes deviennent variables, et l’on pourra, de cette manière, réduire l’effet des forces perturbatrices des planètes aux variations des éléments de leurs orbites.

Soient $\mathrm {X,\,Y,\,Z}$ les forces perturbatrices décomposées suivant les directions des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ et tendantes à augmenter ces coordonnées ; ces forces engendreront pendant l’instant $dt$ les petites vitesses $\mathrm {X} dt,\,\mathrm {Y} dt,\,\mathrm {Z} dt,$ qu’il faudra ajouter aux vitesses ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ dans l’expression de chacun des éléments $a,\,b,\,c,\ldots ,$ comme dans l’article 52. Mais, comme ces vitesses additionnelles sont ici infiniment petites, elles ne produiront dans les éléments que des variations infiniment petites, qu’on pourra déterminer par le Calcul différentiel.

Faisons, pour abréger,

${\frac {dx}{dt}}=x',\qquad {\frac {dy}{dt}}=y',\qquad {\frac {dz}{dt}}=z'\,;$

chacun des éléments sera exprimé par une fonction donnée de $x,\,y,$ $z,\,x',\,y',\,z'.$ Soit $a$ un quelconque de ces éléments ; on aura sa variation $da$ en augmentant $x',\,y',\,z'$ des quantités infiniment petites $\mathrm {X} dt,\,\mathrm {Y} dt,\,\mathrm {Z} dt\,;$ on aura ainsi

$da=\left({\frac {\partial a}{\partial x'}}\mathrm {X} +{\frac {\partial a}{\partial y'}}\mathrm {Y} +{\frac {\partial a}{\partial z'}}\mathrm {Z} \right)dt,$

et l’on aura de pareilles équations pour les autres éléments de l’orbite $b,\,c,\,h,\,i,\,k.$

Pour faire usage de ces équations, il faudra substituer à la place des variables $x,y,\,z,\,x',\,y',\,z'$ leurs valeurs en $t$ et en $a,\,b,\,c,\ldots$ données par les formules trouvées dans le premier Chapitre ; on aura ainsi