Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/78

70

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Donc, puisque dans les expressions de $u,\,{\sqrt {b}},\,{\sqrt {\mathrm {B} }},\,f$ et $\mathrm {F}$ peuvent avoir les signes $+$ ou $-$ en prenant positivement les termes qui contiennent ces radicaux, et donnant aussi à $\cos \mathrm {I}$ sa plus grande valeur $1,$ on aura

$u<{\sqrt {\frac {4+2(\mathrm {E} +e)+4{\sqrt {\mathrm {E} e}}}{r}}}.$

Cette limite se réduira à ${\sqrt {\frac {6}{r}}},$ lorsque l’orbite primitive sera circulaire ou presque circulaire comme celle des planètes, et que la nouvelle sera parabolique comme celles des comètes.

57. Les principales circonstances du mouvement des planètes autour du Soleil nous portent à croire qu’elles ont eu une origine commune c’est le contraire pour les comètes ; elles n’ont de commun entre elles que le mouvement dans une parabole, ou, en général, dans une section conique, et elles paraissent avoir été jetées au hasard dans l’espace.

Ne peut-on pas supposer que la cause qui a produit nos planètes en a produit en même temps un plus grand nombre d’autres placées au delà de Saturne, et décrivant des orbites semblables, comme Uranus, mais dont plusieurs seront devenues ensuite comètes, en éclatant par une explosion interne ? Car, une planète étant brisée en deux ou plusieurs morceaux, par la force de l’explosion, chacun de ces morceaux recevra une impulsion qui lui fera décrire une orbite différente de celle de la planète ; et, pour que cette orbite soit parabolique, il suffira que la vitesse imprimée par l’explosion n’excède pas $70{\sqrt {\frac {6}{r}}}$ fois celle d’un boulet de canon^[1]. Pour Saturne on a $r=9,$ et pour Uranus $r=19\,;$ en supposant $r=24,$ il suffira d’une vitesse moindre que $35$ fois celle d’un boulet, qui n’est produite que par une poignée de poudre.

1. C’est-à-dire, il n’est pas nécessaire que la vitesse excède $70{\sqrt {\frac {6}{r}}}$ fois celle d’un boulet de canon. (J. Bertrand.)