Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/76

68

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

où l’on remarquera que ${\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}}}$ est la vitesse dans l’orbite primitive.

À l’égard des signes ambigus des radicaux qui entrent dans ces formules, on remarquera :

1^o Que $f,$ étant la valeur de ${\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}},$ exprime la vitesse suivant le rayon $r$ dans l’orbite primitive, et que $\mathrm {F}$ exprimera la vitesse suivant ce rayon dans la nouvelle orbite ; ainsi il faudra prendre ces quantités positivement ou négativement, suivant que les vitesses qu’elles représentent tendront à augmenter ou à diminuer le rayon $r,$ c’est-à-dire à éloigner ou à rapprocher le corps du foyer ;

2^o Que ${\frac {\sqrt {b}}{r}},$ étant égal à ${\frac {rd\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}},$ représente la vitesse circulatoire autour du foyer dans l’orbite primitive, et que, de même, ${\frac {\sqrt {\mathrm {B} }}{r}}$ représentera la vitesse circulatoire dans la nouvelle orbite, et ${\frac {\sqrt {\mathrm {B} }}{r}}\cos \mathrm {I}$ sera cette vitesse circulatoire rapportée au plan de l’orbite primitive. Ainsi, en prenant ${\sqrt {b}}$ positivement, il faudra prendre l’autre radical ${\sqrt {\mathrm {B} }}$ positivement ou négativement, suivant que la nouvelle orbite sera, par rapport au plan de l’orbite primitive, dans le même sens que dans cette orbite ou en sens contraire, c’est-à-dire suivant que le mouvement dans la nouvelle orbite sera direct ou rétrograde, relativement au mouvement dans l’orbite primitive.

56. Lorsqu’on voudra appliquer ces formules aux planètes et aux comètes, on fera $\mathrm {g} =1,$ en prenant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour l’unité des distances et la vitesse moyenne de la Terre dans son orbite pour l’unité des vitesses. Cette vitesse est à peu près de $7$ lieues, de $25$ au degré, par seconde. La vitesse d’un boulet de $24,$ au sortir du canon, est d’environ $1400$ pieds, ou $233$ toises par seconde, laquelle est aussi à peu près celle d’un point de l’équateur dans le mouvement diurne de la Terre, celle-ci étant de $238$ toises par seconde. Donc si, pour rendre nos estimations plus sensibles, nous