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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

on aura

$u={\sqrt {\mathrm {g} \left({\frac {4}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {1}{a}}-2{\frac {\sqrt {\mathrm {B} b}}{r^{2}}}\cos \mathrm {I} -2\mathrm {F} f\right)}},$

$\cos \alpha ={\frac {\mathrm {F} -f}{u}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \beta ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} -{\sqrt {b}}}{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\quad \cos \gamma ={\frac {{\sqrt {\mathrm {B} }}\sin \mathrm {I} }{ur}}{\sqrt {\mathrm {g} }}.$

Mais, si l’on voulait rapporter la direction de l’impulsion à deux autres axes placés dans le plan de l’orbite primitive, dont l’un serait perpendiculaire et l’autre tangent à cette orbite, alors, en nornmant l’angle que la perpendiculaire à l’orbite fait avec le rayon vectcur $r,$ et dont la tangente est exprimée par ${\frac {dr}{rd\varphi }},$ les vitesses imprimées suivant ces deux axes seront

${\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon \qquad {\text{et}}\qquad {\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon ,$

la vitesse suivant le troisième axe perpendiculaire au plan de l’orbite demeurant la même. Si donc on désigne par $\alpha '$ et par $\beta '$ les angles que la direction de l’impulsion fait avec ces nouveaux axes, on aura

${\begin{aligned}u\cos \alpha '=&{\dot {r}}\cos \varepsilon -r{\dot {\varphi }}\sin \varepsilon ,\\u\cos \beta '=&{\dot {r}}\sin \varepsilon +r{\dot {\varphi }}\cos \varepsilon .\end{aligned}}$

Or on a

$\operatorname {tang} \varepsilon ={\frac {dr}{rd\varphi }}={\frac {fr}{\sqrt {b}}}\,;$

d’où l’on tire, en substituant la valeur de $f,$

$\sin \varepsilon ={\frac {f}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}},\qquad \cos \varepsilon ={\frac {\sqrt {b}}{r{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}\,;$

et de là on aura

${\begin{aligned}\cos \alpha '=&{\frac {\mathrm {F} {\sqrt {b}}-f{\sqrt {\mathrm {B} }}\cos \mathrm {I} }{ur{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}{\sqrt {\mathrm {g} }},\\\cos \beta '=&\left({\frac {r^{2}\mathrm {F} f+{\sqrt {\mathrm {B} b}}\cos \mathrm {I} }{ur^{2}{\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}}}-{\frac {\sqrt {{\cfrac {2}{r}}-{\cfrac {1}{a}}}}{u}}\right){\sqrt {\mathrm {g} }},\end{aligned}}$