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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

et de là on tire

${\frac {d\varphi }{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\frac {\sqrt {b}}{r^{2}}},\qquad {\frac {dr}{{\sqrt {\mathrm {g} }}dt}}={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.$

En substituant ces valeurs, on aura les éléments de la nouvelle orbite exprimés par ceux de l’orbite primitive et par les vitesses ${\dot {r}},\,r{\dot {\varphi }},\,r{\dot {\psi }}$ produites par l’impulsion.

55. Supposons maintenant qu’on demande l’impulsion nécessaire pour changer les éléments primitifs $a,\,b$ en $\mathrm {A,B} ,\ldots$ et pour rendre la nouvelle orbite inclinée à la première avec l’angle $\mathrm {I} \,;$ il ne s’agira que d’avoir les expressions ${\dot {\varphi }},\,{\dot {\psi }},\,{\dot {r}}$ en $\mathrm {A,\,B,\,I} ,\ldots$ et $a,\,b,\,r.$ Les formules que nous venons de trouver donnent

${\begin{aligned}{\dot {\psi }}=&{\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\sin I} }{r^{2}}},\qquad {\dot {\varphi }}={\frac {\mathrm {{\sqrt {gB}}\cos I} -{\sqrt {\mathrm {g} b}}}{r^{2}}},\\{\dot {r}}=&{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}}-{\sqrt {\mathrm {g} }}{\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}}.\end{aligned}}$

Soit $u$ la vitesse imprimée par l’impulsion, et soient $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ les angles que la direction de l’impulsion fait avec trois axes dont l’un soit le rayon $r$ prolongé, l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite primitive et dans le sens du mouvement de la planète, et le troisième perpendiculaire au même plan ; on aura, par le principe de la décomposition, $u\cos \alpha ,\,u\cos \beta ,\,u\cos \gamma$ pour les trois vitesses suivant ces axes, lesquelles sont aussi celles que nous avons désignées par ${\dot {r}},\,r{\dot {\varphi }},\,r{\dot {\psi }}.$ On aura donc

$u\cos \alpha ={\dot {r}},\qquad u\cos \beta =r{\dot {\varphi }},\qquad u\cos \gamma =r{\dot {\psi }}\,;$

d’où l’on tire, à cause de $\cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma =1,$

$u={\sqrt {{\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}+r^{2}{\dot {\psi }}^{2}}}.$

Donc, si l’on fait, pour abréger,

$\mathrm {F} ={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{\mathrm {A} }}-{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}}},\qquad f={\sqrt {{\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}-{\frac {b}{r^{2}}}}},$