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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Dans ces formules, les expressions différentielles ${\frac {dr}{dt}},\,{\frac {r\cos \psi d\varphi }{dt}}$ et ${\frac {rd\psi }{dt}}$ représentent les vitesses dans la direction du rayon $r,$ dans une direction perpendiculaire à ce rayon et parallèle au plan de projection, et dans une direction normale au plan des deux autres composantes.

54. Prenons, pour plus de simplicité, le plan de projection dans le plan même de l’orbite, et supposions que la vitesse reçue par l’impulsion soit décomposée en trois, l’une suivant le rayon $r,$ l’autre perpendiculaire à ce rayon dans le plan de l’orbite, et la troisième perpendiculaire à ce plan. Si l’on désigne la première par ${\dot {r}},$ la deuxième par $r{\dot {\varphi }}$ et la troisième par $r{\dot {\psi }},$ on aura les éléments de la nouvelle orbite après l’impulsion, en mettant dans les expressions précédentes $dr+{\dot {r}}dt,$ $d\varphi +{\dot {\varphi }}dt,\,d\psi +{\dot {\psi }}dt$ à la place de $dr,\,d\varphi ,\,d\psi ,$ et faisant $\psi =0,\ d\psi =0\,;$ alors la position de la nouvelle orbite se trouvera rapportée au plan de l’orbite primitive.

Soient $\mathrm {A,\,B,\,H,\,I}$ ce que les éléments $a,\,b,\,h,\,i$ deviennent pour la nouvelle orbite ; on aura

${\begin{aligned}{\frac {1}{\mathrm {A} }}=&{\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]+\left(dr+{\dot {r}}dt\right)^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\\\mathrm {B} =&{\frac {r^{4}\left[\left(d\varphi +{\dot {\varphi }}dt\right)^{2}+{\dot {\psi }}^{2}dt^{2}\right]}{\mathrm {g} dt^{2}}},\end{aligned}}$

$\operatorname {tang} \mathrm {I} ={\frac {{\dot {\psi }}dt}{d\varphi +{\dot {\varphi }}dt}},\qquad \operatorname {tang} \mathrm {H} ={\frac {\sin \varphi }{\cos \varphi }}=\operatorname {tang} \varphi \,;$

donc

$\mathrm {H} =\varphi \,;$

en effet, il est clair que le nœud de la nouvelle orbite avec l’orbite primitive doit être dans le lieu où se fait l’impulsion.

Si l’on fait aussi $\psi =0$ et ${\frac {d\psi }{dt}}=0$ dans les expressions des éléments primitifs $a$ et $b,$ on a

${\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}d\varphi ^{2}+dr^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},\qquad b={\frac {r^{4}d\varphi ^{2}}{\mathrm {g} dt^{2}}},$