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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

regarder comme des forces perturbatrices. On aura alors le problème dont nous avons donné une solution générale dans la Section $\mathrm {V} ,$ et que nous appliquerons ici aux orbites des planètes.

§ I. — Du changement produit dans les éléments de l’orbite d’une planète,
lorsqu’elle est supposée recevoir une impulsion quelconque.

53. Nous avons vu, dans le § II du Chapitre précédent, comment on peut exprimer tous les éléments du mouvement elliptique d’une planète par des fonctions des coordonnées $x,\,y,\,z$ et de leurs différentielles ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ qui expriment les vitesses suivant les directions de ces coordonnées. Si donc on suppose qu’une planète, pendant qu’elle se meut, reçoive dans un lieu quelconque de son orbite une impulsion qui lui communique les vitesses ${\dot {x}},\,{\dot {y}},\,{\dot {z}}$ suivant les mêmes coordonnées et tendantes à les augmenter, il n’y aura qu’à mettre dans les mêmes fonctions

{\frac {dx}{dt}}+{\dot {x}},\quad {\frac {dy}{dt}}+{\dot {y}},\quad {\frac {dz}{dt}}+{\dot {z}}

à la place de ${\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}},$ et l’on aura les éléments de la nouvelle orbite que la planète décrira après l’impulsion.

Si, à la place des coordonnées rectangles $x,\,y,\,z,$ on prend, comme dans l’article 5, le rayon vecteur $r,$ avec les angles $\psi$ et $\varphi$ , dont le premier $\psi$ soit l’inclinaison de $r$ sur le plan fixe des $xy,$ et dont l’autre $\varphi$ soit l’angle de la projection de $r$ sur ce plan avec l’axe fixe des $x,$ les expressions de l’orbite deviennent plus simples.

En effet, en substituant $r\cos \psi \cos \varphi ,\,r\cos \psi \sin \varphi$ et $r\sin \psi$ à la place de $x,\,y,\,z,$ on trouve, pour les éléments $a,\,b,\,h,\,i,$

{\frac {1}{a}}={\frac {2}{r}}-{\frac {r^{2}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)+dr^{2}}{gdt^{2}}},\quad b={\frac {r^{4}\left(\cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}+d\psi ^{2}\right)}{gdt^{2}}},

{\begin{aligned}\operatorname {tang} h=&{\frac {\sin \varphi d\psi -\sin \psi \cos \psi \cos \varphi d\varphi }{\cos \varphi d\psi +\sin \psi \cos \psi \sin \varphi d\varphi }},\\\operatorname {tang} i=&{\frac {\sqrt {d\psi ^{2}+\sin ^{2}\psi \cos ^{2}\psi d\varphi ^{2}}}{\cos ^{2}\psi d\varphi }}.\end{aligned}}