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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

on aura

$\mathrm {G^{2}=1+2LL'L''-L^{2}-L'^{2}-L''^{2}} .$

Or nous avons déjà remarqué (art. 38) que la quantité $ll'+mm'+nn'$ est égale au cosinus de l’angle compris entre les deux rayons $\mathrm {R}$ et $\mathrm {R} '$ dirigés vers la comète dans les deux premières observations, angle que nous avons désigné par le côté $\mathrm {CC} '$ du triangle sphérique $\mathrm {CC'C''} ,$ supposé tracé sur la sphère en joignant par des arcs de grands cercles les trois lieux apparents de la comète dans les trois observations. Ce triangle est entièrement donné par les observations de la comète, de quelque manière qu’elles aient été faites ; et nous pouvons regarder comme connus ses trois côtés $\mathrm {CC',\,CC'',\,C'C''} ,$ ainsi que les angles $\mathrm {C,C',C''} ,$ qui sont respectivement opposés aux côtés $\mathrm {C'C'',\,CC} ''$ et $\mathrm {CC} '.$

On aura donc

$\mathrm {L=\cos(CC')}$

et de même

$\mathrm {L'=\cos(CC''),\qquad L''=\cos(C'C'')} ,$

et l’expression de la quantité $\mathrm {G} ^{2}$ deviendra

$\mathrm {G^{2}=1+2\cos(CC')\cos(CC'')\cos(C'C'')} \mathrm {-\cos ^{2}(CC')-\cos ^{2}(CC'')-\cos ^{2}(C'C'')} .$

Cette expression de $\mathrm {G} ^{2}$ peut encore se réduire à une forme plus simple ; car il est facile de se convaincre, par le développement des termes, qu’elle est la même chose que celle-ci

$\mathrm {\left[\cos(CC'+CC'')-\cos(C'C'')\right]\left[\cos(C'C'')-\cos(CC'-CC'')\right]} ,$

laquelle, par les transformations connues, devient celle-ci

${\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=-4&\sin \mathrm {\left({\frac {CC'+CC''+C'C''}{2}}\right)} \sin \left(\mathrm {\frac {CC'+CC''-C'C''}{2}} \right)\\\times &\sin \left(\mathrm {\frac {CC'-CC''+C'C''}{2}} \right)\sin \left(\mathrm {\frac {C'C''+CC''-CC'}{2}} \right),\end{aligned}}$

formule très commode pour le calcul logarithmique.

Si l’on veut employer les angles du même triangle, on peut avoir encore une expression plus simple de la quantité $\mathrm {G} \,;$ car on a, par les