56
MÉCANIQUE ANALYTIQUE.
où le demi-paramètre
devient double de la distance périhélie de la comète.
47. Après avoir réduit le problème des comètes à des équations finales à une seule inconnue, il reste à examiner les quantités qui doivent être supposées connues ; ces quantités sont :
1o Les trois rayons
qui représentent les distances du Soleil à la Terre dans les trois observations, et qui doivent être calculés par les Tables du Soleil ;
2o Les quantités
d’où dépendent les valeurs de
(art. 41 et 43). Celles-ci doivent être déterminées par les trois observations de la comète et par le calcul des lieux du Soleil ; mais on peut les ramener à des expressions plus simples, qui en rendront la détermination beaucoup plus facile.
Commençons par la quantité
dont les autres ne sont que des dérivées on a (art. 41)
![{\displaystyle \mathrm {G} =lm'n''+mn'l''+nl'm''+ln'm''+ml'n''+nm'l''\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8058cde5ff0ae762cff1c48496b6317727ac6d95)
le carré de cette expression peut se mettre sous la forme
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {G} ^{2}=&+\left(l^{2}+m^{2}+n^{2}\right)\left(l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}\right)\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)\\&+2(ll'+mm'+nn')(ll''+mm''+nn'')(l'l''+m'm''+n'n'')\\&-\left(l^{2}\ \ +m^{2}\,\ +n^{2}\,\ \right)(l'l''+m'm''+n'n'')^{2}\\&-\left(l'^{2}\ +m'^{2}\ +n'^{2}\,\right)(ll''\ \,+mm''\ +nn''\ )^{2}\\&-\left(l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}\right)(ll'\ \ \,+mm'\ \ +nn'\ \ ),\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bce356613842710c9dd820e4c3ccfe62c21d9668)
comme on peut s’en convaincre par le développement. Or, par la nature des quantités
(art. 37),
![{\displaystyle l^{2}+m^{2}+n^{2}=1,\qquad l'^{2}+m'^{2}+n'^{2}=1,\qquad l''^{2}+m''^{2}+n''^{2}=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6527cf6cf765e8c005348a5ce1fed772f55d20b6)
Donc, faisant, pour abréger,
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {L} \ \ =&ll'\ \ +mm'\ \ +nn'\ \ ,\\\mathrm {L} '\ =&ll''\ +mm''\ +nn'',\\\mathrm {L} ''=&l'l''+m'm''+n'n'',\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f450987b6dc9c33c15e7c75f250b648a6fc9ba4a)