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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

comètes, envisagé d’une manière approchée, mais exacte^[1], à une équation unique à une seule inconnue. Il y est parvenu par une considération ingénieuse, fondée sur ce que le lieu apparent de la comète, dans la deuxième observation, s’écarte du grand Cercle mené par les lieux apparents dans la première et dans la troisième observation ; et la détermination de cet écartement l’a conduit directement à une construction analogue à celle que nous venons de donner, et qui se réduit à une équation en $\mathrm {r}$ du septième degré. (Voir les Mémoires de l’Académie de Berlin pour l’année 1771.)

Connaissant ainsi les valeurs de $\mathrm {r}$ et $\mathrm {R} ,$ on aura

\mathrm {R} '=-{\frac {m-1}{m}}\mathrm {{\frac {Q_{1}}{Q}}R} ,\qquad \mathrm {R} ''=(m-1)\mathrm {{\frac {Q_{2}}{Q}}R} ,

et les deux équations (art. 40 et 41)

{\begin{aligned}\mathrm {R'^{2}\,-2R'\ \rho '\,\cos(C'S')} \ \ +\rho '^{2}\ =&r'^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2t-{\frac {t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\\\mathrm {R''^{2}-2R''\rho ''\cos(C''S'')} +\rho ''^{2}=&r''^{2}=\mathrm {r} ^{2}+\left(2mt-{\frac {m^{3}t^{3}}{3\mathrm {r} ^{3}}}\right)\mathrm {s} +m^{2}t^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\end{aligned}}

donneront les valeurs des constantes $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}},$ et de là celles des éléments $a$ et $b$ de l’orbite, par les formules de l’article 28, $2a$ étant le grand axe et $2b$ le paramètre.

46. Si l’on suppose l’orbite parabolique, on aura $a$ infini, ce qui donne ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}={\frac {1}{\mathrm {r} }}.$ Dans ce cas, les deux dernières équations ne contiendront plus que l’inconnue $\mathrm {s} ,$ laquelle étant éliminée, on aura une nouvelle équation en $\mathrm {r}$ qui devra avoir une racine commune avec celle

↑ Euler avait donné, en 1744, une solution approchée du problème des comètes mais sa méthode exigeait plusieurs fausses hypothèses et l’emploi d’une quatrième observation. Quant à la solution de Lambert, on doit observer que celle dont Lagrange donne ici une idée succincte est la seconde qui ait été proposée par ce géomètre, qui a même négligé d’en développer les calculs. Le problème avait été résolu par lui d’une manière très différente dans un Ouvrage spécial, Insigniores orbitæ cometarum proprietates, qui date de 1761. (J. Bertrand.)

[1] Euler avait donné, en 1744, une solution approchée du problème des comètes mais sa méthode exigeait plusieurs fausses hypothèses et l’emploi d’une quatrième observation. Quant à la solution de Lambert, on doit observer que celle dont Lagrange donne ici une idée succincte est la seconde qui ait été proposée par ce géomètre, qui a même négligé d’en développer les calculs. Le problème avait été résolu par lui d’une manière très différente dans un Ouvrage spécial, Insigniores orbitæ cometarum proprietates, qui date de 1761. (J. Bertrand.)

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