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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

aura l’équation

$\mathrm {K^{2}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)^{2}-2K\rho ^{4}r^{3}\left(r^{3}-\rho ^{3}\right)\cos(CS)+\rho ^{6}r^{6}\left(\rho ^{2}-r^{2}\right)} =0,$

où l’inconnue $\mathrm {r}$ montera au huitième degré, mais qui, étant divisible par $\mathrm {r} -\rho ,$ ne sera, après la division, que du septième degré.

Cet abaissement de l’équation en $\mathrm {r}$ est dû à ce que nous avons représenté le mouvement de la Terre, comme celui de la comète, par des formules approchées où l’on a négligé les puissances de $t$ supérieures à la troisième ; il n’aurait pas lieu en employant la valeur de $\mathrm {R}$ de l’\piticle précédent, dans laquelle les lieux du Soleil sont supposés exacts, étant déterminés d’après les Tables.

45. On peut ramener l’équation précédente à une construction assez simple. Ayant mené d’un point donné deux droites qui fassent entre elles un angle égal à l’arc $\mathrm {CS} ,$ distance apparente de la comète au Soleil dans la première observation, et dont la première soit égale à ${\frac {\mathrm {K} }{\rho ^{3}}}$ et la seconde égale à $\rho ,$ il s’agira de trouver dans la première un point tel que la partie comprise entre ce point et l’extrémité de la même droite soit à la droite entière comme le cube de la seconde droite est au cube de la droite qui joindra l’extrémité de celle-ci et le point cherché alors cette dernière droite sera égale à $\mathrm {r} ,$ et la partie de la première interceptée entre le point donné et le point cherché sera égale à $\mathrm {R} .$ Car, par cette construction, on aura la proportion

$\mathrm {{\frac {K}{\rho ^{3}}}-R:{\frac {K}{\rho ^{3}}}::\rho ^{3}:r^{3}} ,$

laquelle donne

$\mathrm {R=K\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}-{\frac {1}{r^{3}}}\right)}$

et ensuite

$\mathrm {r={\sqrt {\rho ^{2}-2\rho R\cos(CS)+R^{2}}}} ,$

d’où résulte l’équation ci-dessus en $\mathrm {r} .$

Lambert, est, je crois, le premier qui ait réduit le problème des