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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

de l’orbite (art. 28, 29) ; de sorte qu’on pourra déterminer ces trois constantes.

42. En ne poussant l’approximation que jusqu’aux quatrièmes puissances de $t,$ on a

$\mathrm {V} =t-\mathrm {g} {\frac {t^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}$

et de même,

$\mathrm {V} '=t'-\mathrm {g} {\frac {t'^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {t'^{4}}{4\mathrm {r} ^{5}}}\,;$

et comme $\mathrm {V''=TV'-VT'} ,$ on aura

$\mathrm {V} ''=t'-t-\mathrm {g} {\frac {(t'-t)^{3}}{6\mathrm {r} ^{3}}}+\mathrm {gs} {\frac {(t'-t)^{3}(t+t')}{4\mathrm {r} ^{5}}}.$

En faisant ces substitutions dans les valeurs de $\mathrm {R,\,R',\,R''}$ et supposant $t'=mt,$ le coefficient $m$ étant donné par le rapport des deux intervalles entre les trois observations, il est clair que la quatrième dimension de $t$ disparaîtra par la division, et qu’ainsi il suffira d’avoir égard à la troisième dans les valeurs de $r'$ et $r''.$

Or on a, en général, aux $t^{4}$ près,

$r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-{\frac {\mathrm {gs} }{3r^{3}}}t^{3}\,;$

mais nous avons supposé que la première observation répond à $t=0,$ et que les deux suivantes répondent aux temps $t$ et $t'=mt\,;$ ainsi l’on aura

${\begin{aligned}r^{2}\ \ =&\mathrm {r} ^{2},\\r'^{2}\ =&\mathrm {r} ^{2}+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3},\\r''^{2}=&\mathrm {r} ^{2}+2m\mathrm {s} t+m^{2}{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-m^{3}\mathrm {\frac {gs}{3r^{3}}} t^{3}.\end{aligned}}$

On fera donc ces substitutions dans les trois dernières équations de l’article précédent, et, rejetant les termes qui contiendraient des puissances de $t$ supérieures à la troisième, on aura trois équations entre les trois inconnues $r,s$ et ${\frac {ds}{dt}},$ dont les deux dernières n’y paraîtront