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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

les deux premières observations, on aura

$t'-t={\frac {u{\sqrt {r+r'}}}{2{\sqrt {\mathrm {g} }}}},$

ce qui donne

$u^{2}(r+r')=4\mathrm {g} (t'-t)^{2},$

et il n’y aura plus d’autres radicaux dans cette équation que ceux qui entrent dans les expressions de $r$ et $r'\,;$ mais les équations entre les trois inconnues $\mathrm {R,\,R',\,R''} ,$ ou entre les deux $\mathrm {L,\,M} ,\ldots$ seront encore trop compliquées pour qu’on puisse les employer avec succès.

On peut conclure de là que ces inconnues ne sont pas celles dont l’emploi est le plus avantageux dans la question présente ; et, lorsqu’on ne demande d’abord qu’une solution approchée, il est beaucoup plus simple de faire usage des formules que nous avons données dans l’article 28, pour le cas où l’on suppose le temps $t$ très petit.

41. Pour appliquer ces formules à la détermination de l’orbite des comètes, il n’y aura qu’à y substituer à la place de $x,\,y,\,z$ les expressions données dans l’article 37 ; on aura ainsi, en général,

${\begin{aligned}\mathrm {R} l\,\ -\rho \lambda \,=&\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} m-\rho \mu =&\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\\\mathrm {R} n\ -\rho \nu =&\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} ,\end{aligned}}$

où les quantités $\mathrm {x,\,y,\,z} ,\,{\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}$ répondent au commencement du temps $t$ et sont regardées comme constantes, et où $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ sont des fonctions rationnelles de $t$ et des constantes $\mathrm {r,\,s} ,\,{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$

Comme le commencementdu temps $t$ est arbitraire, on peut le fixer au moment de la première observation ; or, en faisant $t=0,$ on a

$\mathrm {T} =1\quad {\text{et}}\quad \mathrm {V} =0\,;$