Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/48

40

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

36. Les éléments des planètes sont assez connus ; c’est par des observations de longitudes et de latitudes qu’on les a déterminés, et la petitesse de leurs excentricités et de leurs inclinaisons sur le plan de l’écliptique a beaucoup contribué à faciliter ces déterminations.

En prenant ce plan pour celui des $xy,$ les angles $\varphi$ et $\psi$ (art. 4) représentent, l’un la longitude du corps, et l’autre sa latitude ; et nous avons donné dans les articles 22 et 23, pour les valeurs de $\varphi$ et $\psi$ en $t,$ des séries qui sont d’autant plus convergentes que l’excentricité $e$ et l’inclinaison $i$ sont plus petites. En prenant six observations, trois de longitude et trois de latitude correspondante ou, en général, de longitude ou de latitude, à des instants donnés, on aura six équations par lesquelles on pourra déterminer les six éléments, du moins pour le Soleil et la Lune, qui tournent immédiatement autour de la Terre.

Pour les autres planètes qui tournent autour du Soleil, le calcul est un peu plus compliqué, parce que l’observation ne donne immédiatement que les longitudes et latitudes vues de la Terre, qu’on nomme géocentriques ; mais, en supposant le mouvement du Soleil connu, on peut toujours déduire de chaque observation une équation ; de sorte que six observations suffiront, à la rigueur, pour la détermination des six éléments.

Ce problème est surtout important pour les comètes, dont les éléments, lorsqu’elles paraissent, sont tout à fait inconnus ; aussi, depuis Newton, qui a le premier tenté de le résoudre, il y a peu de géomètres et d’astronomes qui ne s’en soient occupés. Ne pouvant établir l’approximation sur la petitesse de l’excentricité et de l’inclinaison, comme pour les planètes, ils ont tous supposé que les intervalles de temps entre les observations sont très petits, et ils ont donné des méthodes plus ou moins approchées pour déduire les éléments des comètes de trois longitudes et d’autant de latitudes observées. Comme celle que j’ai proposée, dans les Mémoires de Berlin^[1] pour 1783, me paraît offrir la solution la plus directe et la plus générale du problème

1. Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 439.