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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

L’article 9 donne d’abord, en mettant $-\mathrm {\frac {g}{r}}$ à la place de $\int \mathrm {R} dr$ et changeant $x,\,y,\,z,\,r,\,{\frac {dx}{dt}},\,{\frac {dy}{dt}},\,{\frac {dz}{dt}}$ en $\mathrm {x,\,y,\,z,\,r} ,\,{\frac {d\mathrm {x} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\,{\frac {d\mathrm {z} }{dt}},$

$\mathrm {A} =\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}}-\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}},\quad \mathrm {B} =\mathrm {z} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}}-\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {z} }{dt}},\quad \mathrm {C} =\mathrm {x} {\frac {d\mathrm {y} }{dt}}-\mathrm {y} {\frac {d\mathrm {x} }{dt}},$

$2\mathrm {H} =\left({\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\right)^{2}-\mathrm {\frac {2g}{r}} ,$

et les articles 11 et 15 donnent

${\begin{alignedat}{3}\mathrm {A} =&\mathrm {D} \sin i\sin h,\qquad &\mathrm {B} =&-\mathrm {D} \sin i\cos h,\qquad &\mathrm {C} =&\mathrm {D} \cos i,\\\mathrm {D} =&{\sqrt {\mathrm {g} b}},&\mathrm {H} =&-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}.\end{alignedat}}$

On aura ainsi immédiatement, par ces formules, les valeurs du demi-axe $a,$ du demi-paramètre $b,$ d’où l’on tire l’excentricité $e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}},$ et les angles $h$ et $i\,;$ et il ne restera qu’à connaître les quantités $c$ et $k.$

32. Il est bon de remarquer que la valeur de $a$ et celle de $b$ peuvent se réduire à une forme plus simple. En effet, il est clair que $\mathrm {x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}}$ est le carré de la vitesse initiale, laquelle étant nommée $\mathrm {u} ,$ on aura

${\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {2}{r}}-{\frac {u^{2}}{g}}} \,;$

d’où l’on voit que le grand axe de la section conique et, par conséquent aussi, le temps périodique (art. 16) ne dépendent que de la distance primitive du corps au foyer attractif et de la vitesse de projection.

À l’égard du paramètre $2b,$ on a réduit, dans l’article 11, la quantité $\mathrm {D}$ à la forme ${\frac {r^{2}d\Phi }{dt}},$ où $d\Phi$ est l’angle décrit par le rayon $r$ dans l’instant $dt,$ de sorte que $rd\Phi$ est le petit arc décrit par le même rayon ; par conséquent, ${\frac {rd\Phi }{dt}}$ est la vitesse perpendiculaire à ce rayon et que le corps a pour tourner autour du foyer.