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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

lorsque $t=0.$ On aura ainsi, en substituant les valeurs de $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V} ,$ et ordonnant les termes par rapport aux puissances de $t,$

${\begin{aligned}r^{2}=\mathrm {r} ^{2}&+2\mathrm {s} t+{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}t^{2}-\mathrm {\frac {gs}{r^{3}}} {\frac {t^{3}}{3}}+\left(\mathrm {\frac {3gs^{2}}{r^{5}}} -\mathrm {\frac {g}{r^{3}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\right){\frac {t^{4}}{3.4}}\\&+\left(\mathrm {\frac {9g}{r^{5}}} {\frac {\mathrm {s} d\mathrm {s} }{dt}}-\mathrm {\frac {15gs^{3}}{r^{7}}} +\mathrm {\frac {g^{2}s}{r^{6}}} \right){\frac {t^{5}}{3.4.5}}+\ldots .\end{aligned}}$

Cette expression de $r^{2}$ doit être identique avec celle que donneraient les valeurs de $x,\,y,\,z\,;$ car, puisque $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2},$ on aura aussi

$r^{2}=\mathrm {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)} \mathrm {T} ^{2}+2{\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {TV} +{\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}\mathrm {V} ^{2}.$

Or

$\mathrm {x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}} ,\quad {\frac {\mathrm {x} d\mathrm {x} +\mathrm {y} d\mathrm {y} +\mathrm {z} d\mathrm {z} }{dt}}={\frac {\mathrm {r} d\mathrm {r} }{dt}}=\mathrm {s} ,$

et

${\frac {d\mathrm {x} ^{2}+d\mathrm {y} ^{2}+d\mathrm {z} ^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {2H+{\frac {2g}{r}}}$ (art. 9) $={\frac {d(rdr)}{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}}$ (art. 27) $={\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} ,$

de sorte qu’on aura

$r^{2}=\mathrm {r^{2}T^{2}+2sTV} +\left({\frac {d\mathrm {s} }{dt}}+\mathrm {\frac {g}{r}} \right)\mathrm {V} ^{2},$

valeur qui coïncide avec la précédente.

§ II. — Détermination des éléments du mouvement elliptigue
ou parabolique.

30. Dans la théorie des planètes, on nomme éléments les six quantités constantes qui servent à déterminer la figure de l’orbite, sa position par rapport à un plan fixe, qu’on prend pour celui de l’écliptique, et l’époque ou le moment du passage par l’aphélie ou par le périhélie.

Soient, comme dans le paragraphe précédent, $a$ le demi grand axe ou la distance moyenne et $b$ le demi-paramètre ; ces deux éléments déterminent la figure de l’orbite ; et si l’on nomme $e$ l’excentricité, ou