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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

À l’égard des constantes $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}$ que renferment ces expressions, il est bon de remarquer qu’elles se réduisent immédiatement aux constantes $\mathrm {D}$ et $\mathrm {H}$ d’où dépendent les éléments $a,b,c$ de l’orbite elliptique, comme nous l’avons vu dans l’article 8. Car, en rapportant au commencement du temps $t$ les deux équations en $r$ de l’article précédent, on a

${\frac {(\mathrm {r} dr)^{2}}{dt^{2}}}-2\mathrm {gr=2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d(\mathrm {r} dr)}{dt^{2}}}-\mathrm {\frac {g}{r}} =2\mathrm {H} ,$

savoir

$\mathrm {s^{2}=2gr+2Hr^{2}-D^{2}} ,\qquad {\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {2H+{\frac {g}{r}}} ,$

et substituant pour $\mathrm {H}$ et $\mathrm {D} ^{2}$ leurs valeurs $-{\frac {\mathrm {g} }{2a}}$ et $\mathrm {g} b$ (art. 15), on aura

${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}=\mathrm {g} \left({\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}\right),\qquad \mathrm {s^{2}=g} \left(2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-b\right)\,;$

d’où l’on tire

${\frac {1}{a}}=\mathrm {{\frac {1}{r}}-{\frac {1}{g}}} {\frac {d\mathrm {s} }{dt}},\qquad b=2\mathrm {r} -{\frac {\mathrm {r} ^{2}}{a}}-\mathrm {\frac {s^{2}}{g}} .$

On voit par là que les quantités $\mathrm {T}$ et $\mathrm {V}$ ne dépendent que de la figure de l’orbite, et nullement de la position de son plan.

29. Comme la quantité ${\frac {rdr}{dt}},$ ou $s,$ est déterminée par une équation différentielle semblable à celle qui détermine $x,$ on aura aussi pour cette quantité une expression semblable, en changeant seulement $\mathrm {x}$ et ${\frac {d\mathrm {x} }{dt}}$ en $\mathrm {s}$ et ${\frac {d\mathrm {s} }{dt}}.$ On aura ainsi

$s={\frac {rdr}{dt}}=\mathrm {sT} +{\frac {d\mathrm {s} }{dt}}\mathrm {V} .$

De là, en intégrant et ajoutant la constante $r^{2},$

$r^{2}=\mathrm {r^{2}+2s\int T} dt+{\frac {2d\mathrm {s} }{dt}}\int \mathrm {V} dt,$

où les intégrales doivent être prises de manière qu’elles soient nulles