Page:Joseph Louis de Lagrange - Œuvres, Tome 12.djvu/40

32

MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

d’où, en différentiant de nouveau et faisant, pour abréger,

$s={\frac {rdr}{dt}},$

on a celle-ci

${\frac {d^{2}s}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} s}{r^{3}}}=0,$

laquelle est tout à fait semblable aux précédentes.

On aura ainsi, par des différentiations et des substitutions successives,

${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=&-{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}},\quad {\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}={\frac {3\mathrm {g} s}{r^{5}}}x-{\frac {\mathrm {g} }{r^{3}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{4}x}{dt^{4}}}=&+\left({\frac {3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right)x+{\frac {2.3\mathrm {g} s}{r^{5}}}{\frac {dx}{dt}},\\{\frac {d^{5}x}{dt^{5}}}=&+\left(-{\frac {3.3.5\mathrm {g} }{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7\mathrm {g} s^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5.\mathrm {g} ^{2}s}{r^{8}}}\right)x\\&+\left({\frac {3.3\mathrm {g} }{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5\mathrm {g} s^{2}}{r^{7}}}+{\frac {\mathrm {g} ^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {dx}{dt}},\end{aligned}}$

et ainsi de suite.

On aura de pareilles expressions pour les différentielles de $y$ et $z,$ en changeant seulement $x$ en $y$ et $z.$

28. On fera donc ces substitutions, et, comme les quantités $x,y,z$ et leurs différentielles se rapportent, dans ces formules, au commencement du temps $t',$ si l’on y change $t'$ en $t,$ et qu’on désigne par $x,y,z,r,s$ les valeurs de $x,y,z,r,s$ qui répondent à $t=0,$ et qu’on suppose, pour abréger,

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&+1-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{2}}{2}}+{\frac {3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+\left({\frac {3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.5gs^{3}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{4}}{2.3.4}}\\&+\left(-{\frac {3.3.5g}{r^{7}}}{\frac {sds}{dt}}+{\frac {3.5.7gs^{3}}{r^{9}}}-{\frac {3.5g^{2}s}{r^{8}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\\\mathrm {V} =&+t-{\frac {g}{r^{3}}}{\frac {t^{3}}{2.3}}+{\frac {2.3gs}{r^{5}}}{\frac {t^{4}}{2.3.4}}+\left({\frac {3.3g}{r^{5}}}{\frac {ds}{dt}}-{\frac {3.3.5gs^{2}}{r^{7}}}+{\frac {g^{2}}{r^{6}}}\right){\frac {t^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots ,\end{aligned}}$

on aura ces expressions

$x=\mathrm {xT} +{\frac {d\mathrm {x} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad y=\mathrm {yT} +{\frac {d\mathrm {y} }{dt}}\mathrm {V} ,\qquad z=\mathrm {zT} +{\frac {d\mathrm {z} }{dt}}\mathrm {V} .$