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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

27. Enfin l’équation entre $\theta$ et $t$ est toujours résoluble par approximation, lorsqu’on suppose le temps $t$ très petit ; on a alors, pour $\theta$ et, par conséquent, pour toutes les variables qui en dépendent, des séries ordonnées suivant les puissances de $t,$ et qui seront d’autant plus convergentes que la valeur de $t$ sera plus petite. Mais, dans ce cas, il est plus simple d’en tirer la solution directement des équations différentielles en $x,\,y,\,z$ et $t$ de l’article 9, en y faisant $\mathrm {R} ={\frac {\mathrm {g} }{r^{2}}}.$

En regardant les variables $x,y,z$ comme des fonctions de $t,$ et supposant qu’elles deviennent $x+x',\,y+y',\,z+z',$ lorsque $t$ devient $t+t',$ on a, en général, par le théorème connu,

${\begin{aligned}x'=&{\frac {dx}{dt}}t'+{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}+{\frac {d^{3}x}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\y'=&{\frac {dy}{dt}}t'\,+{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\,+{\frac {d^{3}y}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\\z'=&{\frac {dz}{dt}}t'\ +{\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}{\frac {t'^{2}}{2}}\ +{\frac {d^{3}z}{dt^{3}}}{\frac {t'^{2}}{2.3}}+\ldots ,\end{aligned}}$

et il ne s’agira que d’y substituer les valeurs des différentielles de $x,y,z,$ déduites des trois équations

${\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} x}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} y}{r^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}+{\frac {\mathrm {g} z}{r^{3}}}=0,$

auxquelles on pourra joindre, pour simplifier le calcul, l’équation en $r$ de l’article 10

$2\mathrm {H} r^{2}+2\mathrm {g} r-{\frac {r^{2}dr^{2}}{dt^{2}}}=\mathrm {D} ^{2},$

laquelle, étant différentiée et divisée par $2rdr,$ donne

$2\mathrm {H} +{\frac {\mathrm {g} }{r}}-{\frac {d(rdr)}{dt^{2}}}=0,$

« M. Lambert est parvenu à un des théorèmes les plus élégants et les plus utiles qui aient été trouvés sur ce sujet, et qui a en même temps l’avantage de s’appliquer aux orbites elliptiques. » Cette phrase a été imprimée en 1780, c’est-à-dire trois années avant la mort d’Euler, qui n’a jamais réclamé son droit de priorité. Dans les Mémoires de Berlin pour 1771, Lambert cite le même théorème et s’en attribue la découverte. (J. Bertrand.)