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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

substituant la valeur de $b,$ cette quantité devient

\left[2(r'+r)+{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}\right]{\sqrt {2(r'+r)-2{\sqrt {4rr'-\mathrm {U} ^{2}}}}}.

Donc enfin, en remettant pour $\mathrm {U} ^{2}$ sa valeur, et faisant $r+r'=s,$ on aura

t'-t={\frac {\left(2s+{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}\right){\sqrt {2s-{\sqrt {s^{2}-v^{2}}}}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},

expression qui peut se mettre sous la forme suivante, plus simple,

t'-t={\frac {(s+v)^{\frac {3}{2}}-(s-v)^{\frac {3}{2}}}{6{\sqrt {\mathrm {g} }}}},

comme on peut s’en assurer en prenant les carrés.

26. Cette formule élégante a été donnée d’abord par Euler, dans le septième Volume des Miscellanea Berolinensia. On pourraitla déduire du lemme X du troisième Livre des Principes mathématiques, en traduisant en analyse la construction par laquelle Newton détermine la vitesse qui ferait parcourir uniformément la corde d’un arc de parabole, dans le même temps que l’arc serait parcouru par une comète, et en observant que, dans la parabole, la demi-somme des rayons vecteurs qui aboutissent aux extrémités d’un arc quelconque est toujours égale au rayon vecteur qui aboutit au sommet du diamètre mené par le milieu de la corde parallèlement à l’axe, plus à la partie de ce diamètre interceptée entre l’arc et la corde ; d’où et du lemme IX on tire la valeur de $c$ e dernier rayon, exprimée par la corde et par la somme des rayons vecteurs qui répondent à ses deux extrémités.

On verra plus bas comment on peut étendre la même formule au mouvement elliptique ou hyperbolique^[1].

↑ La formule relative au temps nécessaire pour parcourir un arc de parabole a été souvent attribuée à Lambert, qui, en effet, y est parvenu en 1761 sans avoir eu connaissance du Mémoire d’Euler où elle se trouve démontrée, et qui date cependant de 1744. Lagrange lui-même a partagé longtemps l’erreur dont nous parlons ; car, dans son premier Mémoire Sur le probléme de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations (Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 439), il dit, à propos de son théorème :

[p38-1] La formule relative au temps nécessaire pour parcourir un arc de parabole a été souvent attribuée à Lambert, qui, en effet, y est parvenu en 1761 sans avoir eu connaissance du Mémoire d’Euler où elle se trouve démontrée, et qui date cependant de 1744. Lagrange lui-même a partagé longtemps l’erreur dont nous parlons ; car, dans son premier Mémoire Sur le probléme de la détermination des orbites des comètes d’après trois observations (Œuvres de Lagrange, t. IV, p. 439), il dit, à propos de son théorème :

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