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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

Marquons par un trait les mêmes quantités rapportées à un autre point de la parabole ; la différence $t'-t,$ ou le temps employé à parcourir un arc de parabole contenu entre deux points donnés, sera exprimé par la formule

$6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3+\tau ^{2}+\tau \tau '+\tau '^{2}\right)(\tau '-\tau ).$

Or, on a

$\mathrm {X} =b-r,\quad \mathrm {Y} ={\sqrt {2br-b^{2}}}\,;$

et, si l’on nomme $v$ la corde qui joint les deux extrémités des rayons $r$ et $r',$ on aura

$v^{2}=\mathrm {(X'-X)^{2}+(Y'-Y)^{2}} =(r'-r)^{2}+\left({\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}}\right)^{2}.$

Soit, pour abréger,

$\mathrm {U} ^{2}=v^{2}-(r'-r)^{2},$

on a

$\mathrm {U} ={\sqrt {2br'-b^{2}}}-{\sqrt {2br-b^{2}}},$

équation d’où il s’agit de tirer la valeur de $b.$

Faisant disparaître les radicaux et ordonnant les termes par rapport à $b,$ on a

$b^{2}\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]-b\mathrm {U} ^{2}(r'+r)+{\frac {\mathrm {U} ^{4}}{4}}=0,$

d’où l’on tire

$b={\frac {\mathrm {U} ^{2}\left(r'+r+{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}{2\left[(r'-r)^{2}+\mathrm {U} ^{2}\right]}},$

ou bien, en multipliant le haut et le bas par $r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}},$

$b={\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2\left(r'+r-{\sqrt {4r'r-\mathrm {U} ^{2}}}\right)}}.$

Maintenant on a

$\tau ={\frac {\sqrt {2br-b^{2}}}{b}}\,;$

donc

$\tau '-\tau ={\frac {\mathrm {U} }{b}}\qquad {\text{et}}\qquad \tau ^{2}+\tau '^{2}+\tau \tau '={\frac {3(r+r')}{b}}-3-{\frac {\mathrm {U} ^{2}}{2b^{2}}}\,;$

donc

$6(t'-t){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {\mathrm {U} }{2b{\sqrt {b}}}}\left[6b(r'+r)-\mathrm {U} ^{2}\right]\,;$