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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

Soit $\mathrm {T}$ la valeur de $\Theta$ lorsque $a=\infty ,$ ce qui est le cas de la paraboles ; on a, pour déterminer $\mathrm {T}$ en $t,$ l’équation du troisième degré

$\mathrm {T} ^{3}+3b\mathrm {T} =6(t-c){\sqrt {g}},$

laquelle donne

${\begin{aligned}\mathrm {T} =&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}+{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\\&+{\sqrt[{3}]{3(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}-{\sqrt {9(t-c)^{2}\mathrm {g} +b^{3}}}}}\,;\end{aligned}}$

et si l’on fait

$T={\frac {-{\cfrac {b^{2}\mathrm {T} }{4}}+{\cfrac {b\mathrm {T} ^{3}}{6}}+{\cfrac {\mathrm {T} ^{5}}{3.4.5}}}{b+\mathrm {T} ^{2}}},$

on aura

$\Theta =\mathrm {T} +{\frac {\mathrm {T} '}{a}}+\ldots ,$

et, de là,

${\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}-{\frac {b\mathrm {T} ^{2}}{4}}-{\frac {\mathrm {T} ^{4}}{24}}+\mathrm {TT'} \right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {\mathrm {T} }{\sqrt {b}}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} {\sqrt {b}}}{4}}+{\frac {\mathrm {T} ^{3}}{12{\sqrt {b}}}}-{\frac {\mathrm {T} '}{\sqrt {b}}}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\mathrm {T} ^{2}\right)+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}+{\frac {b^{2}\mathrm {T} ^{4}}{24}}-\mathrm {TT'} \right),\\\mathrm {Y} =&\mathrm {T} {\sqrt {b}}-{\frac {1}{a}}\left({\frac {\mathrm {T} ^{3}{\sqrt {b}}}{6}}-\mathrm {T} '{\sqrt {b}}\right).\end{aligned}}$

Mais l’irrationnalité de l’expression de $\mathrm {T}$ empêchera toujours que ces formules ne soient d’un grand usage dans le calcul analytique des orbites paraboliques ou presque paraboliques.

25. Il est bon de remarquer, relativement au mouvement parabolique, qu’on peut déterminer le temps employé à parcourir un arc quelconque de la parabole par une formule assez simple, qui ne renferme que la somme des rayons vecteurs qui répondentaux deux extrémités de l’arc et la corde qui sous-tend cet arc.

En faisant $a$ infini et $\Theta =\tau {\sqrt {b}},$ les formules précédentes donnent

$6(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}=b{\sqrt {b}}\left(3\tau +\tau ^{3}\right),\quad \tau =\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}},$

$2r=b\left(1+\tau ^{2}\right),\quad 2\mathrm {X} =b\left(1-\tau ^{2}\right),\quad \mathrm {Y} =b\tau .$