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NOTES.
Il en résulte
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}=-{\frac {(u-\zeta )^{2}+1}{(u-\zeta )^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0da21cdeab7c9bc6d507ae0db2bb5018537b3067)
ou bien, en remplaçant
par ![{\displaystyle \rho {\sqrt {-1}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e8944233df29715dfa1560e0e82e8d8a904c852)
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}-{\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}{\sqrt {-1}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f879d13d42ef75e1e8fdcb1d76b7b7d330b16388)
Mais, le premier membre étant réel, le second doit l’être aussi ; on a donc
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\alpha }{d\zeta ^{2}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e81966eb26ed2367a754f1e6be6a8190f7e53725)
et, par suite,
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\log a}{d\zeta ^{2}}}={\frac {\rho ^{2}-1}{\rho ^{4}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94889909d3f84fb3ae89e758355e3edc42ed2e22)
Le nombre
surpassant l’unité, on voit par là que
est une quantité positive, et qu’ainsi la valeur
de
correspondante à
est bien un minimum.
La troisième solution nous donnerait
![{\displaystyle \sin \zeta =0,\quad \zeta =0\ \ {\text{ou}}\ \ \pi \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1326497cf4e523457253b97a7f5c483f99b0a5d3)
on aurait en même temps
![{\displaystyle \rho {\frac {e^{\rho }+e^{-\rho }}{2}}-{\frac {e^{\rho }-e^{-\rho }}{2}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a531836060589b99a6acdc3659f7d36f6d3c1a3)
ou
![{\displaystyle {\frac {2\rho ^{2}}{1.2.3}}+{\frac {4\rho ^{4}}{1.2.3.4.5}}+\ldots =0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/847713d88a7bc59be9241afa6e1e155fcdc2c2a5)
par suite
![{\displaystyle \rho =0,\quad e=\pm 1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1049964588696ae5455f99ccbca05f758b61acc)
Il s’ensuivrait
mais cette valeur de
ne peut être qu’un maximum, puisque, pour
est un minimum, et qu’entre
et
il n’y a pas de maximum, non plus qu’entre
et ![{\displaystyle \zeta =\pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cdf3bd2c621e119579cb5d208851bcb14693120)
Le nombre trouvé ci-dessus
est donc bien le seul minimum de
et ce minimum répond à
Ainsi les développements en série dont on fait usage dans la théorie du mouvement elliptique sont toujours convergents, tant que l’excentricité
est inférieure à
dès que l’excentricité dépasse cette limite, les séries cessent d’être convergentes, si l’ano-