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SECONDE PARTIE. — SECTION VII.

dans laquelle $b$ est le demi-paramètre, donne

$e={\sqrt {1-{\frac {b}{a}}}}=1-{\frac {b}{2a}}-{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}-\ldots .$

L’équation entre $t$ et $\theta$ (art. 16), étant mise sous la forme

$(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}=\theta -e\sin \theta ,$

fait voir que, lorsque $a$ est très grand, $\theta$ devient très petit, de sorte qu’on peut developper $\sin \theta$ en $\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}-\ldots .$

En faisant ces substitutions dans l’équation précédente, on aura

${\begin{aligned}(t-c){\sqrt {\frac {\mathrm {g} }{a^{3}}}}={\frac {\theta ^{3}}{2.3}}&-{\frac {\theta ^{5}}{2.3.4.5}}+\ldots +{\frac {b}{2a}}\left(\theta -{\frac {\theta ^{3}}{2.3}}+\ldots \right)\\&+{\frac {b^{2}}{8a^{2}}}(\theta -\ldots )+\ldots ,\end{aligned}}$

où l’on voit que la quantité $\theta$ est de l’ordre de ${\frac {1}{\sqrt {a}}}.$ Si donc on fait

$\theta ={\frac {\Theta }{\sqrt {a}}},$

et qu’on ne pousse l’approximation que jusqu’aux termes de l’ordre de ${\frac {1}{a}},$ on aura

$(t-c){\sqrt {\mathrm {g} }}={\frac {b}{2}}\Theta +{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{3}+{\frac {1}{a}}\left({\frac {b^{2}}{8}}\Theta -{\frac {b}{4.3}}\Theta ^{3}-{\frac {1}{2.3.4.5}}\Theta ^{5}\right).$

On trouvera par les mêmes réductions

${\begin{aligned}r=&{\frac {1}{2}}\left(b+\Theta ^{2}\right)+{\frac {1}{4a}}\left({\frac {b^{2}}{2}}-b\Theta ^{2}-{\frac {1}{2.3}}\Theta ^{4}\right),\\\operatorname {tang} {\frac {\Phi }{2}}=&{\frac {1}{\sqrt {b}}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{4a}}\left(\Theta +{\frac {1}{3b}}\Theta ^{2}\right),\\\mathrm {X} =&{\frac {1}{2}}\left(b-\Theta ^{2}\right)+{\frac {b^{2}}{8a}}\left(1+{\frac {1}{3}}\Theta ^{4}\right),\\\mathrm {Y} =&{\sqrt {b}}\Theta -{\frac {\sqrt {b}}{2.3a}}\Theta ^{3}.\\\end{aligned}}$