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MÉCANIQUE ANALYTIQUE.

enfin, en développant les puissances des exponentielles imaginaires et y substituant les sinus qui y répondent, on aurait

{\begin{aligned}\psi =&+\operatorname {tang} i\sin(\varphi -h)+{\frac {\operatorname {tang} ^{3}i}{3.4}}\left[\sin 3(\varphi -h)-3\sin(\varphi -h)\right]\\&+{\frac {\operatorname {tang} ^{5}i}{5.16}}\left[\sin 5(\varphi -h)-5\sin 3(\varphi -h)+10\sin(\varphi -h)\right]\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\end{aligned}}

Les séries que nous venons de donner ne sont convergentes qu’à raison de la petitesse de l’excentricité $e$ ^[1] ou de l’inclinaison $i,$ et ne sont, par conséquent, applicables qu’aux orbites elliptiques peu différentes du cercle et peu inclinées, telles que celles des planètes et de leurs satellites ; il n’y aurait d’exception que pour Pallas, une des quatre nouvelles petites planètes, dont l’inclinaison sur l’écliptique est d’environ $34^{\circ },$ ce qui donne pour $\operatorname {tang} ^{2}{\frac {i}{2}}$ une fraction encore assez petite ; de sorte que la série de la valeur de $\varphi$ en $\Phi$ sera très convergente, mais la série de $\psi$ en $\varphi$ le sera beaucoup moins.

24. Après le cas où l’excentricité $e$ est très petite, le problème de Kepler est encore résoluble analytiquement dans le cas où l’excentricité est peu différente de l’unité, et qui est celui des orbites presque paraboliques, comme celles des comètes. Dans ce cas, le demi grand axe a devient très grand, et l’équation de l’article 15

{\frac {1}{a}}={\frac {1-e^{2}}{b}},

↑ Dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour 1823, Laplace a donné la condition nécessaire pour la convergence des séries précédentes. La même question a été traitée depuis par M. Cauchy dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, et dans les Exercices d’Analyse et de Physique mathématique de 1841. L’analyse de M. Cauchy a été enfin développée et complétée par M. Puiseux dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XIV ; 1849. Voir une Note à la fin du Volume. Legendre a donné d’ailleurs, dans les Exercices de Calcul intégral (V^e Partie, n^o 116) une série beaucoup plus convergente pour exprimer $\psi$ en fonction de $\varphi -h.$ Cette série s’appliquerait même à la planète Pallas^*. (J. Bertrand.)

* La série de Legendre est la suivante :
$\psi =2\operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\sin(\varphi -h)+{\frac {2}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {i}{2}}\sin 3(\varphi -h)$

$+{\frac {2}{5}}\operatorname {tang} ^{5}{\frac {i}{2}}\sin 5(\varphi -h)+{\frac {2}{7}}\operatorname {tang} ^{7}{\frac {i}{2}}\sin 7(\varphi -h)+\ldots .$

G. D.

.

[1] Dans les Mémoires de l’Académie des Sciences pour 1823, Laplace a donné la condition nécessaire pour la convergence des séries précédentes. La même question a été traitée depuis par M. Cauchy dans les Comptes rendus de l’Académie des Sciences, et dans les Exercices d’Analyse et de Physique mathématique de 1841. L’analyse de M. Cauchy a été enfin développée et complétée par M. Puiseux dans le Journal de Mathématiques de M. Liouville, t. XIV ; 1849. Voir une Note à la fin du Volume. Legendre a donné d’ailleurs, dans les Exercices de Calcul intégral (V^e Partie, n^o 116) une série beaucoup plus convergente pour exprimer $\psi$ en fonction de $\varphi -h.$ Cette série s’appliquerait même à la planète Pallas^*. (J. Bertrand.)

* La série de Legendre est la suivante :
$\psi =2\operatorname {tang} {\frac {i}{2}}\sin(\varphi -h)+{\frac {2}{3}}\operatorname {tang} ^{3}{\frac {i}{2}}\sin 3(\varphi -h)$

$+{\frac {2}{5}}\operatorname {tang} ^{5}{\frac {i}{2}}\sin 5(\varphi -h)+{\frac {2}{7}}\operatorname {tang} ^{7}{\frac {i}{2}}\sin 7(\varphi -h)+\ldots .$

G. D.

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[1]